§2. Геометрический смысл линейного неравенства и системы линейных неравенств

2.1. Геометрический смысл линейного неравенства

2.1.1. Множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному неравенству

Ax+ByC (2.1)

образует полуплоскость с границей Ax+By=C.

2.1.2. Для того, чтобы построить полуплоскость (2.1), достаточно:

1) Построить прямую Ax+By=C.

2) Взять произвольную точку, не лежащую на прямой Ax+By=C, и подставить её координаты в неравенство (2.1). Если при этом получится верное числовое неравенство, то та полуплоскость, относительно прямой Ax+By=C, в которой лежит взятая точка, определяется неравенством (2.1). В противном случае  другая.

2.1.3. Пример. Построим полуплоскость 3x4y12.

1) Построим прямую 3x4y=12. Для этого достаточно найти точки пересечения прямой с осями координат: (0; 3) и (4; 0).

2 ) Возьмём произвольную точку, не лежащую на прямой, и подставим её координаты в данное неравенство. Например, подставим в данное неравенство координаты точки О(0; 0): 304012. Получилось верное числовое неравенство. Значит, полуплоскость с границей 3x4y=12, в которой лежит начало координат, является искомой (на рис. этот факт обозначен двумя стрелками, указывающими на направление полуплоскости).

2.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств. Пусть дана система линейных неравенств с двумя переменными:

(2.2)

2.2.1. Если система (2.2) совместна (то есть имеет решение), то множество решений системы образует на плоскости с ПДСК выпуклый многоугольник (возможно, неограниченный), образованный пересечением полуплоскостей, определяемых неравенствами системы.

2.2.2. Для того, чтобы изобразить множество системы (2.2) на плоскости, достаточно:

1) Построить каждую из полуплоскостей, определяемых неравенствами системы (2.2).

2) Найти общую часть этих полуплоскостей (их пересечение).

2.2.3. Пример. Изобразить на плоскости множество решений системы

Решение. 1) Построим каждую из полуплоскостей, определяемых неравенствами системы.

2) Треугольник ABC вместе с внутренними точками образует искомое множество.

2.3. Упражнение. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств:

а) б)

Глава II. Плоскость и прямая в пространстве

§1. Плоскость в пространстве

1.1. Уравнения плоскости в пространстве

1 .1.1. Если плоскость П проходит через точку N(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно вектору =(A, B, C) (рис. 1.1), то общее уравнение плоскости П имеет вид

A(xx₀)+B(yy₀)+С(zz₀)=0. (1.1)

Как правило, общее уравнение (1.1) прямой приводят к виду

Ax+By+Сz+D=0, (1.2)

где D=Ax₀By₀Сz₀.

Вектор =(A, B, C) называется вектором нормали (или нормалью) плоскости П.

1.1.2. Если плоскость П проходит через точку N(x₀, y₀, z₀) параллельно неколлинеарным векторам =(a_x, a_y, a_z), =(b_x, b_y, b_z) (рис.1.2), то параметрические уравнения плоскости П имеют вид

(1.3)

Векторы =(a_x, a_y, a_z) и =(b_x, b_y, b_z) называются направляющими векторами плоскости П.

1.1.3. Уравнение плоскости можно записать и в явном виде z=ax+by+c, но в отличие от случая прямой оно не представляет особый интерес.

1.1.4. Кроме приведённых выше видов уравнений плоскости также рассматриваются другие виды:

=0, (1.4)

где (x₀, y₀, z₀), =(a_x, a_y, a_z), =(b_x, b_y, b_z)  как в уравнениях (1.3);

уравнение плоскости, проходящей через три точки N(x₀, y₀, z₀), M(x₁, y₁, z₁), L(x₂, y₂, z₂):

=0, (1.5)

где точки N, M, L не лежат на одной прямой;

уравнение плоскости в отрезках: + + =1, (1.6)

при условии, что плоскость не параллельна ни одной из осей координат.

1.1.5. Замечания. 1) Как и в случае уравнений прямой, с помощью тождественных преобразований из одного вида уравнений можно прийти к другому.

2) В частных случаях, когда плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, общее уравнение (1.2) записывается в виде x=a (если плоскость параллельна плоскости Oyz), y=b (если плоскость параллельна плоскости Oxz) или z=c (если плоскость параллельна плоскости Oyz).

3) Уравнения (1.4) и (1.5), как правило, приводятся к общему виду. Для этого достаточно расписать определители в левых частях этих уравнений и привести подобные относительно x, y, z и свободных членов.

4) Геометрический смысл параметров a, b и с в уравнении (1.6) следующий: a, b и с  соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями соответственно Ox, Oy и Oz.

1.1.6. Упражнения. 1) Написать общее уравнение плоскости:

а) проходящей через точку N(3; 2; 4) перпендикулярно вектору =(4; 2, 8);

б) проходящей через точку N(2; 4; 3) перпендикулярно вектору =(3; 8; 4).

Решение. а) По формуле (1.1) имеем 4(x3)2(y+2)+2(z4)=0. Преобразуем его к виду (1.2): 4x2y+8z48=0. Это  общее уравнение плоскости. Его можно сократить на 2: 2xy+4z24=0.

2) Написать различные уравнения плоскости:

а) проходящей через точку N(4; 2; 3) параллельно векторам =(3; 1; 4), =(3; 4; 2);

б) проходящей через точки N(5; 8; 3) параллельно векторам =(2; 3; 1), =(4; 1; 2);

в) проходящей через точки N(2; 1; 3), M(3; 4; 2) и K(3; 2; 1);

г) проходящей через точки N(3; 2; 8), M(3; 5; 3) и K(2; 2; 3).

Решение. а) По формуле (1.3) имеем

Получили параметрические уравнения плоскости.

Далее, по формуле (1.4) имеем

=0.

Раскроем определитель в левой части и приведём подобные:

=5x15y+z+32.

Таким образом, получаем общее уравнение плоскости: 5x15y+z+32=0.

в) По формуле (1.5) имеем

=0  =0.

Осталось расписать определитель в правой части последнего уравнения и получить общее уравнение плоскости, что предоставляется читателю.

Напишем уравнение в параметрической форме. Для этого заметим, что векторы =(1; 3; 5) и =(1; 3; 2) являются направляющими для данной плоскости. Поэтому по (2.3) имеем

 параметрические уравнения плоскости.

Ответ: а) 2xy+4z24=0  общее плоскости.