1.2. Взаимное расположение прямых.

1.2.1. Пусть прямые l₁: A₁x+B₁y+C₁=0 и l₂: A₂x+B₂y+C₂=0 заданы своими общими уравнениями. Тогда:

а) они параллельны тогда и только тогда, когда = , при этом они совпадают тогда и только тогда, когда это отношение равно и не совпадают тогда и только тогда, когда это отношение не равно ;

б) они перпендикулярны тогда и только тогда, когда A₁A₂+B₁B₂ =0.

1.2.2. Из 1.2.1 следует, что если ≠ , то прямые l₁ и l₂ пересекаются в единственной точке (x₁, y₁), которая является решением системы

1.2.3. Если прямые l₁ и l₂ заданы своими общими уравнениями (см. 1.2.1), то угол между ними можно найти из соотношения

cos( )= , (1.8)

где =(A₁, B₁), =(A₂, B₂).

1.2.4. Упражнение. Выяснить взаимное расположение прямых:

а) l₁: 2x3y+4=0; l₂: 4x6y+8=0; l₃: 6x9y12=0; l₄: 3x+2y5=0;

l₅: x+2y+1=0;

б) l₁: 4x3y9=0; l₂: 3x+4y8=0; l₃: 2x+y4=0; l₄: 8x+4y+12=0;

l₅: 8x+4y16=0.

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними. Если прямые не параллельны, то найти точку их пересечения.

Решение. а) l₁ и l₂: = = . Поэтому прямые l₁ и l₂ совпадают.

l₁ и l₃: = ≠ . Поэтому прямые l₁ и l₃ параллельны, но не совпадают.

l₁ и l₄: 23+(3)2=0. Поэтому прямые l₁ и l₄ перпендикулярны.

l₁ и l₅: ≠ и 21+(3)2≠0. Поэтому прямые ни параллельны, ни перпендикулярны. Найдём угол между ними. Имеем (по формуле (1.8))

cos( )=cos( )= = 0,4961.

Тогда ( )arccos0,49611,05 (радиан).

Найдём точку пересечения прямых l₁ и l₅. Для этого решаем систему

  

Таким образом  точка пересечения прямых l₁ и l₅.

Аналогично исследуется взаимное расположение пар прямых (l₂, l₃), (l₂, l₄), (l₂, l₅), (l₃, l₄), (l₃, l₅), (l₄, l₅) (довести до конца!).

Ответ: а) Прямые l₁ и l₂ совпадают, l₁ и l₃  параллельны и не совпадают, прямые l₁ и l₄ перпендикулярны, угол между прямыми l₁ и l₅ равен 1,05 радиан,  точка пересечения прямых l₁ и l₅.

1.3. Расстояние от точки до прямой

1.3.1. Если N(x₀, y₀) и l: Ax+By+C=0  произвольная точка и прямая на плоскости соответственно, то расстояние (N, l) от точки N до прямой l можно вычислить по формуле

(N, l)= . (1.9)

1.3.2. Упражнение. Найти расстояние от точки N до прямой l:

а) N(2; 1), l: 4x3y+8=0;

б) N(3; 2), l: 2x+4y9=0;

а) N(3; 2), l: 5xy8=0.

Решение. а) По формуле (1.9) имеем

(N, l)= = = .

Ответ: а) .

1.4. Семейство прямых на плоскости

Как известно, общее уравнение прямой имеет вид Ax+By+C=0 и две прямые Ax+By+C₁=0 и Ax+By+C₂=0 не пересекаются тогда и только тогда, когда C₁≠C₂. Поэтому при различных  уравнения

Ax+By= (1.10)

задают различные (параллельные между собой) прямые, то есть уравнение (1.10) при фиксированных A и B задаёт семейство прямых.

Значения свободных членов  семейства прямых Ax+By= увеличиваются, если прямые перемещать по направлению их общего вектора нормали =(A, B), и уменьшаются, если перемещать в противоположную сторону.

1.5. Упражнения.

1) Относительно системы координат написать уравнения прямых, которые проходят через точку N(4; 1) и:

 параллельна прямой l₁;

 перпендикулярна прямой l₂;

 образует угол  с прямой l₃:

а) l₁: 2x5y+8=0; l₂: 3x+y6=0; = , l₃: y=5x+6;

б) l₁: x+8y5=0; l₂: 6x+y+3=0; = , l₃: y=4x8.

Решение. а) Найдём уравнение прямой, параллельной l₁.

I способ. Если прямая l: Ax+By+C=0 параллельна l₁: 2x5y+8=0, то = . Можно считать, что A=2 и B=5, то есть 2x5y+C=0. Так как l проходит через точку N(4; 1), то координаты N удовлетворяют уравнению прямой: 245(1)+C=0. Отсюда C=13. Следовательно, 2x5y13=0  искомое уравнение прямой.

II способ. Если прямые параллельны, то их перпендикуляр  общий. В частности, их нормаль общая, то есть =(2; 5)  общая нормаль для искомой прямой и l₁. Поэтому уравнение искомой прямой  2(x4)5(y+1)=0, или 2x5y13=0.

Найдём уравнение прямой, перпендикулярной l₂. Ясно, что нормаль для l₂ является направляющей для искомой. Поэтому =  искомое уравнение.

Для нахождения уравнения прямой, убразующей угол с прямой y=5x+6, напишем его уравнение в общем виде: 5xy+6=0. Пусть l: Ax+By+C=0  искомая прямая (уравнение прямой). Можно считать, что A=1 (если это не так, то уравнение делим на A). Поэтому

cos( )= =

(в качестве угла между прямыми берём острый угол, и тогда знаки модуля можно опускать). Так как ( )= , то cos( )=cos = и приходим к уравнению = , которое решаем:

=  102B=  10040B+4B²=52+52B² 

 48B²+40B48=0  6B²+5B6=0.

Решаем последнее квадратное уравнение:

D=5246(6)=169, B_{1, 2}= = , B₁= , B₂= .

Таким образом, x y+C=0 и x+ y+C=0 или, соответственно 2x3y+2C=0 и 3x+2y+3C=0  уравнения искомых прямых. Найдём C для обоих уравнений: 243(1)+2C=0, откуда C= , и 342(1)+2C=0, откуда C=7. Таким образом, 2x3y11=0 и 3x+2y14=0  искомые уравнения прямых.

Ответ: а) 2x5y13=0  уравнение прямой, проходящей через точку N(4; 1) и параллельной l₁;

=  уравнение прямой, проходящей через точку N(4; 1) и перпендикулярной l₂;

2x3y11=0 и 3x+2y14=0  уравнения прямых, образующих угол с прямой l₃ и проходящей через точку N(4; 1).

2) Даны вершины треугольника ABC. Составить: уравнения сторон треугольника; уравнения прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; уравнения высот. Найти длины высот:

а) A(3; 2), B(4; 1), С(2; 8);

б) A(1; 2), B(2; 1), С(2; 8);

Решение. а) Уравнения сторон будем искать как уравнения прямых, проходящих через (две) вершины. Найдём уравнение стороны AB:

=  = ,

то есть =  уравнение стороны AB (в каноническом виде). Напишем уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB. Ясно, что вектор =(1; 3) является направляющим для этой прямой. Поэтому её уравнение: = .

Напишем уравнение высоты, опущенной из вершины C. Эта высота перпендикулярна стороне AB, то есть вектор является нормалью для этой высоты. Поэтому её уравнение x+23(y+8)=0  x3y22=0.

Длину высоты h_c, опущенной из вершины C будем искать как расстояние от точки C до прямой AB. Для этого уравнение прямой AB приведём к общему виду:

=  3(x3)=y2  3xy+11=0  3x+y11=0.

Тогда

h_c=(C, AB)= = = .

Аналогично находятся остальные прямые и длины высот (требуемые по условию задачи) (довести до конца!)

Ответ: а) = , 3x+y11=0  уравнения стороны AB;

=  уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;

x3y22=0  уравнение высоты, опущенной из вершины C;

 длина высоты, опущенной из вершины C.