Глава I. Прямая на плоскости

§1. Прямая на плоскости

1.1. Уравнения прямой на плоскости

1.1.1. Если прямая l на плоскости проходит через точку N(x₀, y₀) перпендикулярно в екто-ру =(A, B) (рис.1.1), то общее уравнение прямой l имеет вид

A(xx₀)+B(yy₀)=0. (1.1) Как правило, общее уравнение (1.1) прямой приводят к виду

Ax+By+C=0, (1.2)

г де C=Ax₀By₀.

Вектор =(A, B) называется вектором нормали (или нормалью) прямой l.

1.1.2. Если прямая l не параллельна оси Oy, то явное уравнение прямой имеет вид

y=kx+b, (1.3)

г де k=tg,   угол наклона прямой к оси Ox, b  ордината точки пересечения прямой с осью Oy. k называется угловым коэффициентом прямой l, уравнение (1.3)  уравнением прямой с угловым коэффициентом.

1.1.3. Если прямая l проходит через точку N(x₀, y₀) параллельно вектору =(, ) (рис.1.3), то параметрические уравнения прямой l имеют вид

(1.4)

Вектор =(, ) называется направляющим вектором прямой l.

1.1.4. Кроме общего, явного и параметрического уравнений прямой также рассматриваются другие виды уравнений:

каноническое: = , (1.5)

где (, )  направляющий вектор прямой, (x₀, y₀)  некоторая точка прямой;

уравнение прямой, проходящей через точки N(x₀, y₀), M(x₁, y₁):

= , (1.6)

уравнение прямой в отрезках: + =1, (1.7)

при условии, что прямая не параллельна ни одной из осей координат.

1.1.5. Замечания. 1) С помощью тождественных преобразований из одного вида уравнений можно прийти к другому. Например, если B≠0, то из общего уравнения можно прийти к уравнению с угловым коэффициентом: y= x . Обратно, из уравнения (1.3) получается общее: kx+yb=0. Далее, исключая параметр t из (1.4), можно прийти к (1.5), И т.д.

2) В частных случаях, когда прямая параллельна одной из осей, общее уравнение (1.2) записывается в виде x=a (если прямая параллельна оси Oy) или y=b (если прямая параллельна оси Ox) (рис. 1.4).

3) В каноническом уравнении (1.5) допускается, чтобы =0 или =0 (но не одновременно!). В этом уравнении дроби не обозначают операцию деления. Например, уравнение = означает, что прямая проходит через точку (2; 3) параллельно вектору (0; 4).

4 ) По сути уравнение (1.6) является каноническим уравнением прямой с направляющим вектором (x₁x₀; y₁y₀).

5) Геометрический смысл параметров a и b в уравнении (1.7) следующий: a и b  соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями соответственно Ox и Oy (рис. 1.5).

1.1.6. Упражнения. 1) Написать различные уравнения прямой и изобразить прямые в системе координат:

а) проходящей через точку N(3; 2) перпендикулярно вектору =(4; 2);

б) проходящей через точку N(2; 4) перпендикулярно вектору =(3; 8);

в) проходящей через точку N(4; 2) параллельно вектору =(3; 1);

г) проходящей через точку N(5; 8) параллельно вектору =(2; 3);

д) проходящей через точку N(2; 1) и M(3; 4);

е) проходящей через точку N(3; 2) и M(4; 5).

Решение. а) По формуле (1.1) имеем 4(x3)2(y+2)=0. Преобразуем его к виду (1.2): 4x2y16=0. Это  общее уравнение прямой. Его можно сократить на 2: 2xy8=0.

Приведём к уравнению с угловым коэффициентом: y=2x8.

Напишем параметрические и каноническое уравнения. Для этого заметим, что вектор =(1; 2) будет направляющим, так как

( , )=14+2(2)=0,

то есть  и поэтому параллелен l. Отсюда по (1.4)

= 

 параметрические и каноническое уравнения соответственно.

Для получения уравнения в отрезках применим к общему уравнению тождественные преобразования:

2xy8=0  2xy=8   =1  + =1,

то есть + =1  уравнение прямой в отрезках.

в) Напишем сначала каноническое уравнение прямой: = . Для написания общего уравнения применим тождественные преобразования к этому равнению:

=  (1)(x4)=3(y4)  x+4=3y6 

 x3y+10=0  x3y+10=0  x+3y10=0,

то есть x+3y10=0  общее уравнение прямой (как правило, коэффициент при х приводят к знаку «+». Остальное  как в а) (довести до конца!).

д) Напишем уравнение прямой, проходящей через две точки:

=  = .

Остальное  как и выше (довести до конца).

Ответ: а) 2xy8=0  общее уравнение прямой,

y=2x8  уравнение прямой с угловым коэффициентом,

 параметрические уравнения прямой,

=  каноническое уравнение прямой,

+ =1  уравнение прямой в отрезках.

2) Известны угол  наклона прямой к оси Ox и точка N, через которую проходит прямая. Написать уравнение прямой:

а) = , N(4; 2);

б) = , N(2; 1);

в) = , N(3; 8).

Решение. а) Напишем уравнение с угловым коэффициентом: y=kx+b, где k=tg = , то есть y= x+b. Так как N(4; 2) принадлежит прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой: 2= 4+b, откуда b=24 . Окончательно имеем y= x+24 .

Ответ: а) y= x+24  уравнение прямой с угловым коэффициентом.