§2. Частные методы решения систем.

В этом параграфе мы рассмотрим методы решения систем линейных уравнений, отличных от метода Гаусса. Их можно, действительно, назвать частными, так как одни из них предназначены для решения определённых систем, другие  для решения неопределённых систем. Кроме того, приведём критерий совместности системы, применение которого также в определённой степени можно назвать частным методом, так как в случае несовместности системы применение этого критерия даёт ответ.

Но прежде введём некоторые понятия.

Множество всех решений системы назовём общим решением. Отдельно взятое решение неопределённой системы назовём её частным решением.

2.1. Матричный метод и правило Крамера. Матричный метод и правило Крамера решения систем применяются к системам, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных:

(2.1.1)

2.1.1. Теорема. Если определитель системы (2.1.1) не равен нулю, то она имеет единственное решение, которое можно найти по формуле

X= A B, (2.1.2)

где A  матрица системы, X и B  столбцы соответственно неизвестных и свободных членов.

Формула (2.1.2) даёт так называемый матричный метод решения системы.

2.1.2. Пример. Решить систему матричным методом:

Решение. Найдём определитель системы:

= = 10.

Определитель системы ненулевой. Следовательно, матричный метод применим. Найдём A . Имеем

A =

(правило нахождения обратной матрицы см. Приложение 3.3). Поэтому по формуле (2.1.2) имеем

X= = = = ,

то есть = .

Ответ: (1; 2; 3; 2).

Обозначим через  определитель матрицы системы:

= .

Через ₁ обозначим определитель, полученный из  заменой первого столбца на столбец свободных членов:

₁= .

Аналогично, положим

₂= и, вообще, _i=  определитель, полученный из определителя  заменой i-го столбца на столбец свободных членов системы.

2.1.3. Теорема. Если 0, то система (2.1.1) имеет единственное решение , , …, .

2.1.4. Пример. Решить систему из примера 2.1.2, пользуясь правилом Крамера.

Решение. Так как = 10, то к системе применимо правило Крамера. Найдём _i для всех i=1, 2, 3, 4. ₁  определитель, полученный из  заменой 1-го столбца на столбец свободных членов, ₂  определитель, полученный из  заменой 2-го столбца на столбец свободных членов и т.д. Поэтому

₁= = 1; ₂= =2; ₃= =3; ₄= = 2.

Тогда x₁= = =1; x₂= = = 2; x₃= = = 3; x₄= = =2.

Ответ: (1; 2; 3; 2).

2.2.5. Упражнение. Решить системы из Упражнения 1.2.2 правилом Крамера и матричным методом.

2.2. Однородные системы линейных уравнений.

2.2.1. Определение. Однородной называется система, у которой свободные члены всех уравнений являются нулевыми.

Таким образом, однородная система имеет вид

(2.2.1)

2.3.2. Теорема. Множество решений однородной системы образует линейное пространство относительно операций сложения решений (₁, ₂, …, _n)+(₁, ₂, …, _n)=(₁+₁, ₂+₂, …, _n+_n) и умножения на ненулевое число  (₁, ₂, …, _n)=(₁, ₂, …, _n). Размерность этого пространства равна nr, где r  ранг матрицы системы.

2.2.3. Определение. Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы.

2.2.4. Следствие. Множество решений однородной системы (2.2.1) имеет вид ₁e₁+₂e₂+…+_ke_k, где _i пробегают независимо друг от друга все числа, e₁, e₂, …, e_k  фундаментальная система решений.

Фундаментальная система решений находится следующим образом:

1. Методом окаймления миноров (Приложение 3.4) находим ранг матрицы системы (2.2.1) и ненулевой минор максимального порядка (он называется базисным минором системы).

2. Оставляем в системе те уравнения, коэффициенты которых входят в строки базисного минора.

3. Члены с неизвестными при коэффициентах базисного минора (эти неизвестные называются связанными) оставляем в левой части системы, остальные члены (со свободными неизвестными) переносим в правую часть. В результате (в общем виде) получаем систему вида (без ограничения общности считаем, что x_r+1, x_r+2, …, x_n  свободные неизвестные)

4) В полученной системе поочерёдно полагая (x_r+1, x_r+2, …, x_n) равным (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0) и так далее, находим последовательно фундаментальную систему решений e₁, e₂, …, e_k.

2.2.5. Упражнения. Найти фундаментальную систему решений следующих систем однородных линейных уравнений и представить общее решение системы как линейную комбинацию векторов фундаментальной системы решений:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

Решение. а) 1) Найдём методом окаймления миноров ранг матрицы

A=

системы и ненулевой минор максимального порядка, который выбирается базисным:

M₁=10, M₂= =0, = = 40, M₃= =0, = =0

(таким образом, все миноры 3-го порядка, составленные из элементов первых трёх строк, равны нулю; продолжаем рассмотрение миноров 3-го порядка, составленные из элементов 1-й, 2-й и 4-й строк, то есть окаймляем четвёртой строкой) = =40. Следовательно, ранг матрицы A системы равен 3, в качестве базисного выбираем данный ненулевой минор , а сама система равносильна системе

(2.2.2)

причём неизвестные x₁, x₃, x₄  связанные, а неизвестные x₂, x₅  свободные.

2) Перенесём в системе (2.2.2) члены со свободными неизвестными из левой части в правую:

Полагая x₂=1 и x₅=0, получаем систему

решением которой является Таким образом, e₁=(2; 1; 0; 0; 0)  первый вектор фундаментальной системы решений.

Полагая x₂=0 и x₅=1, получаем систему

решением которой является Таким образом, e₂=( ; 0; ; 1; 1)  второй вектор фундаментальной системы решений.

3) Выпишем общее решение системы как линейную комбинацию векторов фундаментальной системы решений:

e₁+e₂=(2; 1; 0; 0; 0)+ ( ; 0; ; 1; 1)=(2 ; ; ; ; )

где , R.

б) M₁=10, M₂= =30, M₃= =0, = =0, = =0. Таким образом, ранг системы равен 2, а сама система равносильна системе

2) Перепишем её виде

Ищем фундаментальную систему решений e₁, e₂, e₃. Положим x₃=1, x₄=0, x₅=0. Тогда приходим к системе

решение которой и e₁=( ; ; 1; 0; 0).

Положим x₃=0, x₄=1, x₅=0. Тогда получаем откуда и e₂=( ; ; 0; 1; 0).

Наконец, x₃=0, x₄=0, x₅=1, откуда и и e₃=( ; ; 0; 0; 1).

Таким образом, фундаментальная система векторов состоит из e₁=( ; ; 1; 0; 0), e₂=( ; ; 0; 1; 0), e₃=( ; ; 0; 0; 1).

3) ₁e₁+₂e₂+₃e₃=₁( ; ; 1; 0; 0)+₂( ; ; 0; 1; 0)+₃( ; ; 0; 0; 1)= =( ₁ ₂ ₃; ₁+ ₂+ ₃; ₁; ₂; ₃).

Ответ: а) e₁=(2; 1; 0; 0; 0), e₂=( ; 0;  ; 1; 1)  фундаментальная система решений и {(2 ; ;  ; ; ) | , R}  общее решение системы.

б) e₁=( ; ; 1; 0; 0), e₂=( ; ; 0; 1; 0), e₃=( ; ; 0; 0; 1)  фундаментальная система решений и

{( ₁ ₂ ₃; ₁+ ₂+ ₃; ₁; ₂; ₃) | , R}  общее решение системы.

2.2.6. Замечания. 1) Выбор значений свободных неизвестных при нахождении фундаментальной системы решений, вообще говоря, произвольный  лишь бы получить линейно независимую систему решений. Так, при решении последнего уравнения можно было в качестве троек (x₃; x₄; x₅) взять последовательно (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) или (1; 1; 1), (0; 1; 1), (0; 0; 1), так как 0 и 0. Читателю рекомендуется решить предыдущую систему при этих значениях неизвестных.

2) Решая две предыдущие системы методом Гаусса, мы получим те же множества решений, правда, быть может, записанных другим способом. Решим методом Гаусса, например, последнюю систему:

        .

Это означает, что то есть общее решение имеет вид (     ;  +  + ; ; ; ). Сравнивая его с решениями, выраженными через фундаментальную систему решений, видим, что мы получили одно и то же множество, только выраженное в различных обозначениях одних и тех же параметров.