Глава I. Системы с двумя и тремя неизвестными.

В этой главе мы подробно рассмотрим системы так называемых линейных уравнений от 2-х и 3-х неизвестных.

§1. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

1.1.1.Определение. Линейным уравнением с двумя неизвестными называется равенство вида

ax+bу=c, (1.1.1)

где ax+bу  многочлен от переменных x и y с коэффициентами a и b, c  некоторое число. x и y называются неизвестными, a и b  коэффициентами при неизвестных x и y соответственно, c  свободным членом.

Решением уравнения (1.1.1) называется любая упорядоченная пара чисел (; ), при подстановке которых соответственно вместо x и y (1.1.1) обращается в верное числовое равенство: a +b=c. Решить уравнение (1.1.1)  это значит найти множество (П3, 1.1.1) всех его решений (или, другими словами, найти все его решения).

1.1.2. Упражнение. Найти множество всех решений уравнения и указать некоторое его частное решение:

а) 3x+6y= 10;

б) 2x+7y=20;

в) 5x3y=15.

Решение. a) I способ. Пусть y=  произвольное число. Тогда имеем следующую цепочку равносильностей:

3x+6= 10  3x= 10  6  x= 

Следовательно, произвольное решение имеет вид ( , ) где   произвольное число.

Если =1, то получаем следующее частное решение ( ; 1).

II способ. Пусть x=  произвольное число. Тогда:

3+6y= 10  6y= 10  3  y= 

Следовательно, произвольное решение имеет вид ( , ) где   произвольное число.

Если =0, то получаем следующее частное решение (0;  ).

Ответ: а) Множеством решений является {( ; ) | R}.

( ; 1) и (0;  )  частные решения.

1.2.Система с двумя неизвестными.

1.2.1. Определение. Пусть даны линейные уравнения

a₁x+b₁y=c₁, (1.2.1)

a₂x+b₂y=c₂. (1.2.2)

Если требуется найти общие решения уравнений (1.2.1) и (1.2.2), то говорят, что они образуют систему. Система, состоящая из уравнений (1.2.1) и (1.2.2), обозначается следующим образом:

(1.2.3)

Общее решение уравнений, составляющих систему, называется решением системы. Решить систему (1.2.3)  это значит либо найти множество всех его решений, либо доказать, что их нет.

Ниже мы сформулируем условия, при которых система (1.2.3) имеет единственное решение, имеет более одного решения и не имеет ни одного решения (теорема 1.2.7).

1.2.2. Определение. Пусть дана система (1.2.3) линейных уравнений. Матрица называется (основной) матрицей, а ее определитель  определителем системы. Матрица называется расширенной матрицей системы.

1.2.3. Упражнение. Выписать матрицу, расширенную матрицу системы и найти её определитель:

а)

б) в)

1.2.4. Определение. Две системы называются равносильными, если множество их решений совпадают. В частности, равносильными являются также любые две системы, не имеющие решений.

1.2.5. Определение. Элементарными преобразованиями системы (1.2.3) называется одно из следующих:

1) Умножение одного из уравнений системы на ненулевое число.

2) Прибавление к какому-либо уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число.

3) Перемена местами уравнений.

Эти преобразования будем называть преобразованиями соответственно 1-го, 2-го и 3-го типов.

Можно доказать, что при элементарных преобразованиях системы получается система, равносильная данной.

Это обстоятельство позволяет легко решить систему (1.2.3) с помощью элементарных преобразований.

1.2.6. Упражнение. Решить системы уравнений:

а) (1.2.4)

б) в)

г) д) е)

Решение. а) Умножим первое уравнение на –2 и прибавим его ко второму (преобразование 2-го типа); придем к системе

(1.2.5)

равносильной системе (1.2.4). В полученной системе последнее уравнение разделим на –13 (т.е. умножим его на – (преобразование 1-го типа)); придем к системе

равносильной системе (1.2.5). Подставив у=1 в первое уравнение, получим х=1, т.е. придем к системе

которая равносильна системе (1.2.4). Таким образом, (1; 1)  решение системы (1.2.4). Кратко процесс решения системы (1.2.4) записывается следующим образом:

  

Знак «» означает знак равносильности систем.

б) х+5у=6 х=65у.

Если у=, то х=65, т.е. решениями являются все пары чисел вида (65, ).

(1) Первое уравнение, умноженное на 2, вычитаем из второго (это то же самое, что и первое уравнение, умноженное на –2 прибавляем ко второму; преобразование 2-го типа).

(2) Систему заменяем одним уравнением с двумя неизвестными.

(3) Член 5у переносим из левой части в правую, поменяв знак на противоположный.

в) Аналогично предыдущему, получаем



Последняя система решений не имеет, так как общего решения уравнений, составляющих последнюю систему, нет (0= 2 можно рассматривать как уравнение 0х= 2).

Ответ: а) (1; 1); б) (65,), R; в) система решений не имеет.

Замечание. Ответ можно записать также в виде систем:

Ответ: а) б) в) система решений не имеет.

1.2.7. Теорема. Пусть дана система (1.4), =  определитель системы, ₁= и ₂= . Если 0, то система имеет единственное решение ; .

Если =0, то при ₁=0 или ₂=0 система равносильна уравнению a₁x+b₁y=c₁ (a₂x+b₂y=c₂), а при ₁0 или ₂0 система решений не имеет.

1.2.8. Упражнение. Решить системы упражнения 1.2.6 с использованием теоремы 1.2.7.

Решение. а) Найдём определитель системы: = = 13, то есть 0. Поэтому система имеет единственное решение ; , где ₁= = 13 и ₂= = 13. Таким образом, (1; 1)  решение системы.

б) Имеем = =0 и ₁= =0. Поэтому система равносильна уравнению x+5y=6, множеством решений которого является {(65, ) | R}.

в) Так как =0, а ₁= 0, то система решений не имеет.

Замечание. Заметим, что (2.2.8) означает: из ₁=0 вытекает ₂=0 и, наоборот, из ₂=0 вытекает ₁=0. Также если =0, то из ₁0 вытекает ₂0 и, наоборот, из ₂0 вытекает ₁0. Так что в этом случае в формулировке теоремы одно из соответствующих условий излишнее.