3.3. Обратная матрица и её нахождение. Ранг матрицы.

3.3.1. Определение. Матрица B называется обратной к матрице A, если AB=BA=E.

Матрица, обратная к A, обозначается через A .

Обратная к матрице A существует тогда и только тогда, когда A является квадратной и detA0. При этом

A =(detA)  .

3.3.2. Определение. Рангом матрицы по строкам называется максимальное число линейно независимых строк этой матрицы. Рангом матрицы по столбцам называется максимальное число линейно независимых столбцов матрицы.

Ранг матрицы по строкам равен рангу этой матрицы по столбцам и равен максимальному порядку ненулевых миноров матрицы. Это число называется рангом матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

3.3.3. Метод окаймления миноров нахождения ранга матрицы заключается в следующем:

1) Находится какой-нибудь ненулевой элемент a_ij матрицы и полагается M₁=a_ij. Это  ненулевой минор 1-го порядка.

2) Допустим, M_k  ненулевой минор k-го порядка. Составляется минор M_k+1 k+1-го порядка «окаймлением» минора M_k строкой и столбцом, куда не входят строки и столбцы M_k. Если M_k+1=0 для всех строк и столбцов, то ранг r матрицы равен k. Если M_k+10, то окаймляем M_k+1 и т.д.

Литература

1. Винберг Э.Б. Курс алгебры.  М.: Факториал, 1999.

2. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. — М.: Наука, 1985.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1971.

4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: Наука, 1984.

5. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. — М.: Наука, 1999.

6. Сборник задач по алгебре/ Под редакцией А.И.Кострикина. — М.: Факториал, 1995.

65