§3. Матрицы и определители.

3.1. Матрицы.

3.1.1. Определители. Матрицей размерности mn над полем F называется таблица элементов из F, расположенных в m строках и n столбцах, заключённая в круглые скобки:

где a_ij  элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Матрицы обозначаются через заглавные буквы латинского алфавита: A, B, C и т.д. Другое обозначение матриц: (a_ij)_mn, (b_ij)_mn и т.д., где mn  размерность матриц.

Если m=n, то матрица называется квадратной.

3.1.2. Определение. Пусть даны матрицы A=(a_ij)_mn, B=(b_ij)_nk (число столбцов первой матрицы равно числу строк второй). Произведением матриц A и B называется матрица C=(c_ij)_mk, где c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_inb_nj. Произведение матриц A и B обозначается через AB.

3.1.3. Определение. Квадратная матрица

называется единичной.

Единичную матрицу обозначают через E или, для того, чтобы подчеркнуть её размерность, через E_n.

3.1.4. Отметим некоторые свойства умножения матриц:

1) Если определены произведения AB, BC матриц A, B, C, то также определены произведения (AB)C, A(BC), при этом (AB)C=A(BC).

2) Если A  матрица размерности mn, то AE_n=E_m A=A. В частности, для любой квадратной матрицы A размерности nn AE=EA=A.

3) Вообще говоря, ABBA.

3.1.5. Определение. Элементарными преобразованиями строк матрицы называется одно из следующих преобразований

1) Умножение всех элементов некоторой строки на ненулевой элемент поля.

2) Прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки.

3) Перемена местами некоторых двух строк матрицы.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы.

3.2. Определители.

3.2.1. Определение. Пусть ={1, 2, …, n}. Перестановкой множества  называется некоторый установленный порядок элементов из : (i₁, i₂, …, i_n). Если в перестановке (i₁, …, i_s, …, i_t, …, i_n) i_s>i_t, то пара (i_s, i_t) называется инверсией перестановки (i₁, …, i_s, …, i_t, …, i_n). Число инверсий в перестановке (i₁, i₂, …, i_n) обозначается через [i₁, i₂, …, i_n].

3.2.2. Определение. Пусть дана квадратная матрица A=(a_ij)_nn. Определителем матрицы A называется алгебраическая сумма произведений элементов матрицы A, взятых в точности по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом знаки слагаемых берутся по следующему правилу: если элементы матрицы в произведении идут в порядке следования номеров строк  a a … a , то со знаком «+» это слагаемое берётся в том случае, если перестановка (i₁, i₂, …, i_n) номеров столбцов чётная, и со знаком «»  если эта перестановка нечётная.

Определитель матрицы обозначается через

или, кратко, через detA.

3.2.3. Отметим некоторые свойства определителей:

1^о. Если поменять местами любые две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак на противоположный, а по абсолютной величине не изменится.

2^о. Если все элементы строки или столбца определителя умножить на один и тот же элемент  поля F, то определитель умножится на . В частности, из строки или столбца можно вынести знак «».

3^о. Определитель не меняется, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на один и тот же элемент  поля F. В частности, определитель не меняется, если из элементов строки (столбца) вычесть соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на один и тот же элемент  поля F.

4^о. Определитель «треугольного» вида

равен произведению диагональных элементов a₁₁a₂₂… a_nn.

3.2.4. Определение. Пусть дана матрица A. Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A, стоящих на пересечении каких-либо k строк и k столбцов, называется минором k-го порядка матрицы A.

Если A  квадратная матрица размерности nn, M  некоторый минор k-го порядка, то у A можно рассматривать минор M порядка nk, составленный из элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов, которые не входят в минор M. Этот минор называется дополнительным минором к M. В частности, отдельно взятый элемент a_ij квадратной матрицы A=(a_ij)_nn является минором 1-го порядка, а его дополнительный минор  минором n1-го порядка. Он обозначается через M_ij и называется минором элемента a_ij.

Алгебраическим дополнением минора M называется (1) M, где i₁, i₂, …, i_k  номера строк, j₁, j₂, …, j_k  номера столбцов, на которых расположен минор M. В частности, алгебраическое дополнение элемента a_ij квадратной матрицы A=(a_ij)_nn (или его определителя)  это A_ij=(1)^i+jM_ij.

3.2.5. Отметим ещё несколько дальнейших свойств определителей:

5^о. Пусть в определителе  произвольно выбраны k строк (или k столбцов). Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных k строках, на их алгебраические дополнения равна определителю  (теорема Лапласа).

6^о. Определитель равен сумме произведений элементов i-го столбца (i-й строки) на их алгебраические дополнения:

detA=a_1i A_1i+a_2i A_2i+…+a_ni A_ni (detA=a_i1 A_i1+a_i2 A_i2+…+a_in A_in).

7^о. Сумма произведений элементов i-го столбца (i-й строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю:

a_1i A_1j+a_2i A_2j+…+a_ni A_nj=0 (a_i1 A_j1+a_i2 A_j2+…+a_in A_jn=0).