§ 2. Линейное пространство.

2.1. Понятие линейного пространства. Арифметическое линейное пространство. Подпространство линейного пространства.

2.1.1. Определение. Линейным пространством над полем F называется множество V, на котором определена алгебраическая операция «+» и для любых элементов  из F и x из V ставится в соответствие однозначно элемент x из V, при этом выполняются следующие свойства:

1. Для любых x и y из V

x+y=y+x.

2. Для любых x, y и z из V

(x+y)+z=x+(y+z).

3. В Vсуществует такой элемент 0_V, что для любого x из V

x+0_V=x.

4. Для любого x из V существует yV такой, что

x+y=0_V.

5. Для любого x из F

1_Fx = x.

6. Для любых ,  из F и x из V

 ( x)=()x.

7. Для любых ,  из F и x из V

(+)x=x+x.

8. Для любых  из F и x, y из V

(x+y)=x+y.

Элементы линейного пространства называются векторами, а само линейное пространство иногда называется векторным пространством. Элемент 0_V из условия 3) называется нулевым вектором линейного пространства V, элемент y из условия 4) называется противоположным к x и обозначается через x.

В обозначениях нулей 0_F и 0_V поля и векторного пространства обычно индексы F и V опускаются, так как из контекста обычно ясно, о каком нуле идёт речь.

Для векторов x и y пространства V элемент x+(y) обозначается через xy и называется разностью векторов x и y.

2.1.2. Определение. Пусть X и Y  подмножества линейного пространства V над полем F. Cуммой X и Y называется множество {x+y | xX, yY}. Сумма X и Y обозначается через X+Y. Таким образом,

X+Y={x+y | xX, yY}.

2.1.3. Определение. Пусть A_n  множество всех упорядоченных наборов элементов поля F:

A_n={(₁, ₂, …, _n)| _iF, i =1, …, n}.

Тогда A_n относительно операций сложения и умножения на  из F, определённых соответственно по правилам

(₁, ₂, …, _n)+(₁, ₂, …, _n)=(₁+₁, ₂+₂, …, _n+_n),

(₁, ₂, …, _n)=(₁, ₂, …, _n)

образует линейное пространство над полем F, которое называется арифметическим линейным пространством над полем F.

2.1.4. Определение. Пусть V₁  подмножество линейного пространства V над полем F. Если V₁ является линейным пространством над полем F относительно операций, определяющих V, то V₁ называется подпространством пространства V.

2.1.5. Подмножество V₁ линейного пространства V над полем F является его подпространством тогда и только тогда, когда для любых  из F и x, y из V₁ x+y V₁ и xV₁.

2.2. Линейная зависимость векторов. Базис линейного пространства.

2.2.1. Определение. Пусть a₁, a₂, …, a_k  некоторая система векторов линейного пространства V над полем F, ₁, ₂, …, _k  элементы из F. Вектор ₁a₁+₂a₂+…+_ka_k называется линейной комбинацией векторов a₁, a₂, …, a_k.

2.2.2. Определение. Вектора a₁, a₂, …, a_k называются линейно независимыми, если равенство ₁a₁+₂a₂+…+_ka_k=0 возможно только при ₁=₂=…=_k=0.

2.2.3. Определение. Базисом линейного пространства V называется такая линейно независимая система векторов (e₁, e₂, …, e_k), что каждый вектор пространства V можно представить как линейную комбинацию этих векторов.

Если (e₁, e₂, …, e_n) и ( , , …, )  два различных базиса пространства V, то n=m. Другими словами, число базисных векторов одного и того же линейного пространства является величиной постоянной. Эта величина называется размерностью пространства V.