Приложение 1. Варианты индивидуальных заданий.

Варианты индивидуальных заданий приведены ниже в таблице. Во всех вариантах предлагается выполнить следующие задания:

Задание 1. Решить системы методом Гаусса.

Задание 2. Решить систему используя:

а) матричный метод;

б) правило Крамера.

Задание 3. Исследовать систему на совместность и, в случае совместности, найти её решения в виде суммы частного и общего решения приведённой однородной.

Во всех заданиях сделать проверку.

Вариант 1		Вариант 2
Задание 1 а)		Задание 1 а)
б)		б)
в)		в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а)		Задание 3 а)
б)		б)

Вариант 3		Вариант 4
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 5		Вариант 6
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 7		Вариант 8
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 9		Вариант 10
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а)		Задание 3 а)
б)		б)

Вариант 11		Вариант 12
Задание 1 а)		Задание 1 а)
б)		б)
в)		в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 13		Вариант 14
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 15		Вариант 16
Задание 1 а)		Задание 1 а)
б)		б)
в)		в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 17		Вариант 18
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 19		Вариант 20
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 21		Вариант 22
Задание 1 а)		Задание 1 а)
б)		б)
в)		в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 23		Вариант 24
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а)		Задание 3 а)
б)		б)

Вариант 25		Вариант 26
Задание 1 а)		Задание 1 а)
б)		б)
в)		в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а)		Задание 3 а)
б)		б)

Приложение 2. Образец выполнения индивидуального задания.

1. Решить системы методом Гаусса:

a) б)

в)

Неопределённую систему решить также методом Жордана-Гаусса

Решение. Метод Гаусса заключается в том, что с помощью последовательного применения элементарных преобразований из 2-го и остальных уравнений исключается неизвестная x₁, из 3-го и остальных уравнений исключается неизвестная x₂ и т.д., и так до тех пор, пока не придём к одному из нижерассмотренных ситуаций. Так как при этом мы работаем только с коэффициентами при неизвестных и свободными членами, то метод Гаусса можно свести к элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы.

а) Оформим решение в виде элементарных преобразований расширенной матрицы системы:

(1) Из первой строки вычли вторую.

(2) 1-ю строку, умноженную на 3, прибавили ко 2-й; 2-ю вычли из 3-й; 3-ю вычли из 4-й. Таким образом, получили систему

которая равносильна исходной системе. В ней из 3-го и 4-го уравнений исключена неизвестная x₁ (впрочем, оказалось, что из последнего исключена и x₂).

(3) 1-ю и 3-ю строки умножили на 1; поменяли местами 2-ю и 3-ю строки.

(4) 2-ю строку, умноженную на 9, прибавили к 3-й. Получили систему

в которой из 3-го и 4-го уравнений кроме x₁ исключена неизвестная x₂.

(5) Последнюю строку, умноженную на 3, вычли из 3-й и поменяли их местами. Таким образом, исходную систему привели к треугольному виду:

Теперь из последнего уравнения находим x₄, подставляя которое в 3-е, находим x₃ (ниже преобразования (7) и (8)), после чего из 2-го уравнения находим x₂ (преобразование (9)) и, наконец, из 1-го находим x₁ (преобразование (10)).

(6) Последнюю строку разделили на 11.

(7) Последнюю строку, умноженную на 3, прибавили к 3-й.

(8) 3-ю строку разделили на 4.

(9) 3-ю строку вычли из 2-й.

(10) 2-ю строку, умноженную на 4, вычли из 1-й.

Следовательно, x₁=1, x₂=2, x₃= 1, x₄ = 2.

б) Аналогично предыдущему имеем

Последняя строка означает, что 0=1  противоречие. Значит, система несовместна.

(1) 1-ю строку, умноженную на 2, на 3 и на 4, вычитаем из 2-й, 3-й и 4-й строк соответственно (исключили x₁ из 2-го, 3-го и 4-го уравнений).

(2) Сумму 2-й и 3-й строк вычитаем из 4-й.

в)



(1) 1-ю строку вычли из второй, вторую  из третьей и четвёртой; исключили из 2-го и остальных уравнений x₁.

(2) Умножая на 4 и 3, вторую строку прибавили соответственно к 3-й и 4-й; из 3-го и 4-го уравнений кроме x₁ исключили и x₂.

(3) Из 4-й строки вычли 3-ю и 3-ю умножили на 1; исключили из 4-го x₃, кроме того, исключилась и x₄.

Таким образом, получили систему

Пришли к системе «трапециедального» вида. В ней неизвестных больше, чем уравнений. Поэтому некоторые неизвестные выбираем связанными, а остальные  свободными. Именно, связанные неизвестные  это первые неисключённые неизвестные в уравнениях: x₁, x₂, x₃ и x₅. Неизвестная x₄  свободная.



(4) Свободной неизвестной придаём произвольное значение x₄= и переносим в правую часть уравнений; из последнего уравнения находим x₅=0.

(5) 3-ю строку делим на 5.

(6) Из 2-й строки вычли 3-ю.

(7) 2-ю строку, умноженную на 2, вычли из 1-й.

Таким образом, приходим к решению системы:

Получаем окончательно {1, 0, 1, , 0) | R}.

В частности, система неопределенная. Решаем ее методом Жордана-Гаусса. Решение также оформляем в виде элементарных преобразований расширенной матрицы:

(1) 1-ю строку вычли из остальных; исключили из 2-го и остальных уравнений неизвестную x₁.

(2) 2-ю строку умножили на 1, а затем новую 2-ю, умноженную на 2, вычли из 1-ой и 4-ой, и, умноженную на 3, вычли из 3-ей; исключили неизвестную x₂ из 1-го, 3-го и 4-го уравнений.

(3) 3-ю строку разделили на 5, а затем новую 3-ю вычли из первой и второй, и, умноженную на 5, прибавили к 4-ой; исключили неизвестную x₃ из 1-го, 2-го и 4-го уравнений.

(4) Последнюю строку разделили на 2, а затем ее, умноженную на , прибавили к 1-ой, и, умноженную соответственно на и , вычли из 2-ой и 3-ей.

Таким образом, x₁, x₂, x₃ и x₅  связанные (базисные) неизвестные, x₄  свободная. Придавая последней произвольные значения  и перенося ее в правую часть, приходим к решению {(1, 0, 1, , 0}| R}.

Ответ: а) (1; 2; 1; 2);

б) Система несовместна;

в) {1, 0, 1, , 0) | R}.

2. Решить систему

над полем R используя:

а) матричный метод;

б) правило Крамера.

Решение: Матричный метод решения систем заключается в том, что если определитель detA основной матрицы A системы, у которой число уравнений равно числу неизвестных, не равен нулю, то столбец X неизвестных ищется по формуле X=A B, где B  столбец неизвестных системы. Таким образом, действуем по следующей схеме:

1) Находим detA, и если detA0, то

2) Находим A .

3) Находим X.

В нашем случае A= , B= . Итак,

1) Находим detA.

detA ищем приведением к треугольному виду:

detA= 1.

(1) 1-ю строку вычли из остальных.

(2) 2-ю строку вычли из 3-й, 3-ю  из 4-й.

(3) 3-ю строку вычли из 4-й.

(4) Теперь определитель треугольного вида равен произведению диагональных элементов.

Таким образом, detA 0. Значит, A существует.

2) Находим A .