2.3. Упражнения.

2.3.1. Вычислить определители приведением к треугольному виду:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2.3.4. Вычислить определители разложением по строке или столбцу:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2.3.3. Вычислить определители:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2.3.4. Доказать свойства для определителей 2-го и 3-го порядков.

Решение. Докажем, например свойство 3^о: Определитель не меняется, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Действительно, допустим, что ко всем элементам второй строки прибавлены соответствующие элементы первой, умноженные на число . Тогда:

= =

=a₁₁(a₂₂+a₁₂)a₃₃+(a₂₁+a₁₁)a₃₂a₁₃+a₃₁a₁₂(a₂₃+a₁₃)

a₃₁(a₂₂+a₁₂)a₁₃(a₂₁+a₁₁)a₁₂a₃₃a₁₁a₃₂(a₂₃+a₁₃)=

После раскрытия скобок и перегруппировки слагаемых соответствующим образом, получаем

=(a₁₁a₂₂a₃₃+a₂₁a₃₂a₁₃+a₃₁a₁₂a₂₃a₃₁a₂₂a₁₃a₂₁a₁₂a₃₃a₁₁a₃₂a₂₃)+

+(a₁₁a₁₂a₃₃+a₁₁a₃₂a₁₃+a₃₁a₁₂a₁₃a₃₁a₁₂a₁₃a₁₁a₁₂ a₃₃a₁₁a₃₂a₁₃)= ,

так как сумма во второй скобке равна нулю.

§3. Некоторые применения определителей

3.1. Ранг матрицы и методы его нахождения.

3.1.1. Определение. Рангом матрицы называется максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы.

Прокомментируем определение. Пусть дана матрица A= . Среди миноров первого порядка этой матрицы есть ненулевой. Например, M₁=10 (вообще говоря, все миноры первого порядка у матрицы A ненулевые). Но все миноры второго порядка у матрицы A равны нулю:

M₂= =0, = =0, = =0.

(Это можно заметить и без перебора всевозможных миноров второго порядка, так как у матрицы строки пропорциональны, и поэтому строки пропорциональны и у всевозможных миноров второго порядка). Следовательно, максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы равен 1, и поэтому ранг матрицы равен 1.

Другой пример. Среди миноров первого порядка матрицы

B=

есть ненулевые, например, M₁=10. Также среди миноров второго порядка есть ненулевой: M₂= =40. А вот всевозможные миноры третьего порядка равны нулю, так как при сложении первых двух строк матрицы B получается третья строка, и поэтому таким же свойством будут обладать всевозможные миноры третьего порядка, и, как следствие, все они равны нулю. (Конечно, можно непосредственно убедиться в этом, перебрав все миноры третьего порядка, число которых равно =4). Таким образом, ранг матрицы B равен 2.

Ранг матрицы A обозначается через rg A (в литературе встречается также rk A, rank A и другие).

3.1.2. Ясно, что при нахождении ранга действовать по его определению неразумно, так как если окажется, что среди миноров k1-го порядка есть ненулевые, а все миноры k-го порядка являются нулевыми, то для того, чтобы убедиться в этом, потребуется перебрать и найти значения

 = 

определителей (миноров) k-го порядка. Например, если для матрицы размерности 45 окажется, что среди миноров второго порядка есть ненулевой, а все миноры третьего порядка нулевые, то чтобы убедиться в этом, придётся перебрать и подсчитать значения

 =  =40

всевозможных миноров третьего порядка. И при этом не запутаться при переборе! Поэтому разработаны специальные методы его нахождения. Одним из методов является так называемый метод окаймления миноров, который заключается в следующем:

1) Находится какой-нибудь ненулевой элемент a_ij матрицы и полагается M₁=a_ij. Это  ненулевой минор 1-го порядка.

2) Допустим,

M_k=

 ненулевой минор k-го порядка. Составляется минор M_k+1 k+1-го порядка «окаймлением» минора M_k строкой и столбцом, куда не входят строки и столбцы M_k:

M_k+1= .

Если M_k+1=0 для всех строк и столбцов с номерами i_k+1, j_k+1, не входящими в число номеров строк и столбцов M_k, то ранг r матрицы равен k. Если M_k+10, то окаймляем M_k+1 и т.д.

Например, найдём ранг матрицы

A= .

Положим M₁=a₁₁=20. Окаймляем ненулевой минор M₁ второй строкой и вторым столбцом: M₂= =0. Аналогично, окаймление второй строкой, и третьим и четвёртым столбцами последовательно даёт

= =0, = =10.

Таким образом, мы нашли ненулевой минор второго порядка. Окаймляем его третьей строкой и столбцами, которые не содержат столбцы, содержащие элементы из :

M₃= =0 (окаймление вторым столбцом),

= =0 (окаймление третьим столбцом).

Окаймление завершили. Таким образом, максимальный порядок ненулевых миноров матрицы A равен 2, то есть rg A=2.

Другой метод опирается на следующий факт:

3.1.3. Теорема. При элементарных преобразованиях матрицы её ранг не меняется.

Отсюда вытекает, что если матрицу элементарными преобразованиями привести к трапециедальному виду, то ранг итоговой матрицы, а вместе с ней и ранг исходной, равен числу её ненулевых строк. Ясно, что достаточно матрицу привести к ступенчатому виду.

Например,

   .

(Читателю предлагается восстановить, какие преобразования применены к A) Теперь видно, что rg A=2.