Глава II. Определители
§1. Понятие определителя
1.1. Определители 2-го и 3-го порядков
1.1.1. Определение.
Пусть дана квадратная матрица A
второго порядка
.
Определителем
матрицы A
называется число a11a22a21a12.
Определитель
матрицы
обозначается через
,
то есть, обозначение определителя
матрицы второго порядка аналогично
обозначению самой матрицы, только
таблица заключается не в круглые скобки,
а в прямые.
Таким образом,
=a11a22a21a12.
Например,
=184(1)=
=8+4=12.
1.1.2. Определение. Пусть дана матрица третьего порядка
.
Определителем этой матрицы называется число
a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23a31a22a13a21a12a33a11a32a23,
и оно обозначается, аналогично определителю матрицы второго порядка, через
.
Таким образом,
=a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23a31a22a13a21a12a33a11a32a23.
Если формула для определителя матрицы второго порядка запоминается просто, то для определителя матрицы третьего порядка формула несколько сложнее. Тем не менее, следующее правило Саррюса относительно просто позволяет запомнить эту формулу.
Составляем произведения элементов главной диагонали и элементов, стоящих на вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, как показано на диаграмме 1. Эти произведения берутся со знаком «+»
Диаг.1
Составляем произведение элементов побочной диагонали и элементов, стоящих на вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали, как показано на диаграмме 2. Эти произведения берутся со знаком «».
Диаг.2
Например,
=316+2(2)0+5(1)45102(1)63(2)4=1820+12+24=34.
Всюду в дальнейшем под определителями 2-го и 3-го порядков будут подразумеваться определители матриц соответствующих порядков.
1.2. Упражнение. Вычислить определители 2-го и 3-го порядков:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
1.3. Общее понятие определителя
1.3.1. Определение. Выберем в квадратной матрице второго порядка какую-нибудь строку, в общем случае i-ю, и какой-нибудь столбец, в общем случае j-й, и исключим их из матрицы. Оставшийся элемент назовём минором элемента aij и обозначим его через Mij. Число Aij=(1)i+jMij называется алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A.
Имеем
A11=(1)1+1M11=a22, A12=(1)1+2M12=a21,
A21=(1)2+1M21=a12, A22=(1)2+2M22=a11,
det A=a11 A11+a12 A12=a21 A21+a22 A22=a11 A11+a21A21=a12 A12+a22 A22.
Аналогичное проделаем с квадратной матрицей третьего порядка. Именно, исключив i-ю строку и j-й столбец, получим матрицу второго порядка, определитель которой называется минором элемента aij и обозначается через Mij, Aij=(1)i+jMij алгебраическое дополнение элемента aij . Заметим, что
detA=a11 A11+a21 A21+a31 A31,
и, вообще,
detA=a1i A1i+a2i A2i+a3i A3i,
а также
detA=ai1 Ai1+ai2 Ai2+ai3 Ai3
для любого i=1, 2, 3.
Пусть теперь дана матрица четвёртого порядка
A=
.
Проделав ту же процедуру, что и с матрицами 2-го и 3-го порядков, введём для элементов aij этой матрицы миноры Mij и алгебраические дополнения Aij.
Определителем матрицы 4-го порядка называется число
det A=a11 A11+a12 A12+a13 A13+a14 A14.
Например, вычислим следующий определитель, исходя из определения:
Имеем
A11=(1)1+1M11= =
=111+131+21(1)21111113(1)=1+3221+3=2,
A12=(1)1+2M12=
=
=(114+131+11(1)111114(1)3(1))=(4+31143)=10,
A13=(1)1+3M13=
=
=114+121+11(1)111114(1)2(1)=4+21142=10,
A14=(1)1+4M14=
=
=(113+121+111111113(1)21)=(3+2113+2)=2.
Теперь по определению
=a11 A11+a12 A12+a13 A13+a14 A14=42+310+2(10)+12=20,
то есть
=20.
Теперь, зная, что такое определитель 4-го порядка, аналогично введём определитель 5-го порядка, как число
det A=a11 A11+a12 A12+a13 A13+a14 A14+a15 A15.
В общем случае определитель n-го порядка вводится в предположении, что определители всех порядков до n1-го включительно введены, как число
det A=a11 A11+a12 A12+…+a1n A1n.
Как и в случае определителей 2-го и 3-го порядков, определитель n-го порядка обозначается в виде таблицы, взятой в прямые скобки:
.
1.4. Упражнение. Вычислить определители по определению:
а)
; б)
.