§2. Действия с матрицами

2.1. Сложение матриц и его свойства

2.1.1. Определение. Суммой матриц A=(a_ij)_m´n и B=(b_ij)_m´n называется матрица (a_ij+b_ij)_m´n.

Сумма матриц A и B обозначается через A+B.

Таким образом, по определению (a_ij)_m´n+(b_ij)_m´n=(a_ij+b_ij)_m´n, можно складывать только матрицы одинаковой размерности и при сложении матриц складываются соответствующие элементы матриц. Например,

+ =

2.1.2. Теорема. Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

1^о. A+B=B+A.

2^о. (A+B)+C=A+(B+C).

3^о. A_mn+O_mn=A_mn.

4^о. Для любой матрицы A_m´n существует матрица B_m´n такая, что A+B=O_m´n.

Матрица B называется противоположной к A и обозначается через A. Очевидно, A=(a_ij)_m´n.

2.1.3. Свойство 2^о имеет обобщение: результат суммирования нескольких матриц

(…((A₁+A₂)+A₃)+…+A_k1)+A_k (2.1)

не зависит от расстановки скобок, то есть

(…((A₁+A₂)+A₃)+…+A_k1)+A_k=((A₁+A₂)+(A₃+A₄))+…+A_k

и т.д. Поэтому в суммах вида (2.1) скобки принято опускать: A₁+A₂+…+A_k.

2.1.4. Определение. Сумма A+(B) называется разностью матриц A и B и обозначается через AB: A+(B)=AB.

Ясно, что если A=(a_ij)_m´n, B=(b_ij)_m´n, то AB=(a_ijb_ij)_m´n, то есть для получения разности матриц A и B нужно из элементов матрицы A вычесть соответствующие элементы матрицы B. Например,

 = .

2.2. Умножение матрицы на число и его свойства.

2.2.1. Определение. Произведением матрицы A=(a_ij)_m´n на число  называется матрица (a_ij)_m´n.

Произведение матрицы на число  обозначается через A.

Таким образом, по определению (a_ij)_m´n=(a_ij)_m´n, то есть при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число. Например,

3 = .

2.2.2. Теорема. Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

1^о. 1A=A, (1)A=A, 0A=O, O=O.

2^о. ()A=(A) для любых , R.

3^о. (+)A=A+A для любых , R.

4^о. (A+B)=A+B для любого R.

2.2.3. Эти свойства имеют естественные обобщения. Например,

3^о. ()A=AA.

и, вообще,

(₁±₂±…±_k)A=₁A±₂A±…±_kA,

где знаки «+» и «» могут комбинироваться произвольным образом.

Аналогично

4^о. (A₁±A₂±…±A_k)=A₁±aA₂±…±aA_k.

2.3. Произведение матриц и его свойства.

2.3.1. Определение. Произведением строки A=(а₁, а₂, … а_n) на столбец B=(b₁, b₂, … b_n)^T называется число a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n.

Это произведение обозначается через AB.

Например, если A=(1, 2, 4), B=(1, 2, 3)^Т, то

AB=(1, 2, 4) =1(1)+22+43=15.

Таким образом, по определению

(а₁, а₂, … а_n) =a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n,

то есть для того, чтобы строку умножить на столбец, необходимо, чтобы число элементов строки равнялось числу элементов столбца.

2.3.2. Определение. Произведением матрицы A=(a_ij)_mn на матрицу B=(b_ij)_nk называется матрица C=(c_ij)_mk, такая, что

c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_inb_nj.

Произведение матрицы A на матрицу B обозначается через AB.

Таким образом, AB=(a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_inb_nj)_mn, то есть элемент c_ij произведения A на B получается как произведение i-й строки (то есть строки под номером i) матрицы A на j-й столбец (то есть столбца под номером j) матрицы B. В частности, для того, чтобы умножить матрицу A на матрицу B, необходимо, чтобы число элементов в строке матрицы A совпадало с числом элементов в столбцах матрицы B, что означает, что число столбцов первого сомножителя должно совпадать с числом строк второго. В противном случае произведение матриц не существует. При этом число строк произведения AB равно числу строк первой матрицы A, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы B. Так, произведение матрицы A=(a_ij)_2´2 на матрицу B=(b_ij)_2´2 является матрицей C=(c_ij)_2´2 размерности 22:

= ;

а произведение матрицы A=(a_ij)_2´2 на матрицу B=(b_ij)_2´3 является матрицей C=(c_ij)_2´3:

= .

Произведение B=(b_ij)_2´3 на A=(a_ij)_2´2 не существует, так как число 3 столбцов матрицы B не равно числу 2 строк матрицы A. Например, если A= , B= , C= , то

AB= = = ,

BA= = = ,

AC= = = ,

CA не определено (то есть не существует).

В частности, мы видим, что, вообще говоря, AB≠BA, то есть привычное для чисел правило «от перестановки мест сомножителей призведение не меняется» для матриц не работает.

2.3.3. Теорема. Операция произведения матриц обладает следующими свойствами:

1^о. Вообще говоря, AB≠BA.

2^о. Если произведения AB и BC определены, то определены также произведения (AB)C, A(BC) и при этом выполняется равенство

(AB)C=A(BC).

3^о. A_mnЕ_n=Е_mA_mn=A_mn. В частности, если A  квадратная матрица порядка n, то AЕ=ЕA=A, где E  единичная матрица порядка n.

4^о. Если AB определено, то для любого числа  произведения (A)B, A(B) также определены и имеют место равенства

(AB)=(A)B=A(B).

5^о. Если определено произведение A(B+C), то определены также произведения AB, AC и сумма AB+AC, и справедливо равенство

A(B+C)=AB+AC.

6^о. Если определено произведение (A+B)C, то определены также произведения AC, BC и сумма AC+BC, и справедливо равенство

(A+B)C=AC+BC.

7^о. Если определено произведение AB, то определено также произведение B^TA^T и справедливо равенство

(AB)^T=B^TA^T.

2.3.4. Перечисленные свойства естественным образом обобщаются. Например, как и в случае суммы, свойство 2^о обобщается следующим образом:

2^о. Если произведения A₁A₂, A₂A₃, …, A_k1A_k, определены, то определено также произведение

(…((A₁A₂)A₃)…A_k1)A_k (2.2)

и результат произведения не зависит от расстановки скобок.

В силу этого в произведениях типа (2.2) скобки принято опускать:

A₁A₂…A_k (2.3)

Вообще, в произведении (2.3) определено произведение любого количества l друг за другом идущих матриц: A_iA_i+1…A_i+l1. В силу свойства 1^о результат произведения зависит от порядка следования сомножителей. Более того, при перестановке сомножителей произведение может быть вообще не определённым (то есть не существовать).

4^о. Если определено произведение A₁A₂…A_k, то определены также произведения (A₁)A₂…A_k, A₁(A₂)…A_k, A₁A₂…(A_k), и имеют место равенства

(aA₁)A₂…A_k=A₁(aA₂)…A_k=…=A₁A₂…(aA_k).

5^о, 6^о. Если определены произведения A(B₁±B₂±…±B_k) и (A₁±A₂±…±A_k)B, то определены соответственно произведения AB₁, AB₂, …, AB_k и A₁B, A₂B, …, A_kB и имеют место равенства

A(B₁±B₂±…±B_k)=AB₁±AB₂±…±AB_k,

(A₁±A₂±…±A_k)B=A₁B±A₂B±…±A_kB.

Здесь сочетания знаков «+» и «» произвольные.

7^о. Если произведение A₁A₂…A_k1A_k определено, то определено также произведение и при этом имеет место равенство

(A₁A₂…A_k1A_k)^Т= .

2.3.5. Определение. Если A  квадратная матрица, то произведение называется k-й степенью матрицы A и обозначается через A^k:

A^k= .