Пример выполнения работы

Имеется три партии товара, основной размер которого D=29,67мм. Максимально допустимое верхнее отклонение ВО=0,07мм, Максимально допустимое нижнее отклонение НО=-0,07мм. Из каждой партии взята выборка, объема n=50 штук. Детали из выборки измерены прибором с ценой деления 0,01<0,1∙2δ, где 2δ=ВО-НО=0,14 – допуск, и результаты измерения x₁, x₂ и x₃ представлены ниже.

Необходимо определить наиболее соответствующую требованиям партию, применив следующие критерии оценки:

0. Оценка мат. Ожидания наиболее близка к требуемому размеру d.

0. Разброс параметров товара (среднеквадратическое отклонение) минимально.

0. Вероятность выхода из интервала допустимых отклонений минимальна.

Выборочные значения партий товаров:

x_1i: 29,63; 29,65; 29,63; 29,63; 29,63; 29,69; 29,64; 29,65; 29,7; 29,63; 29,69; 29,67; 29,61; 29,64; 29,64; 29,67; 29,64; 29,64; 29,65; 29,69; 29,62; 29,67; 29,67; 29,64; 29,68; 29,64; 29,65; 29,7; 29,63; 29,65; 29,65; 29,63; 29,63; 29,63; 29,63; 29,61; 29,69; 29,67; 29,65; 29,69; 29,63; 29,66; 29,66; 29,66; 29,7; 29,66; 29,68; 29,68; 29,67; 29,67

x_2i: 29,71; 29,65; 29,65; 29,66; 29,69; 29,7; 29,69; 29,68; 29,66; 29,68; 29,7; 29,67; 29,68; 29,71; 29,63; 29,69; 29,69; 29,71; 29,67; 29,69; 29,73; 29,7; 29,66; 29,72; 29,68; 29,69; 29,68; 29,67; 29,72; 29,68; 29,68; 29,63; 29,65; 29,68; 29,69; 29,65; 29,68; 29,73; 29,65; 29,7; 29,7; 29,69; 29,71; 29,67; 29,7; 29,68; 29,66; 29,65; 29,68; 29,66

x_3i: 29,68; 29,64; 29,66; 29,64; 29,67; 29,69; 29,64; 29,71; 29,65; 29,67; 29,67; 29,66; 29,68; 29,65; 29,7; 29,66; 29,7; 29,66; 29,68; 29,66; 29,65; 29,67; 29,66; 29,67; 29,63; 29,67; 29,63; 29,67; 29,65; 29,71; 29,68; 29,69; 29,7; 29,65; 29,69; 29,68; 29,68; 29,66; 29,7; 29,69; 29,69; 29,65; 29,68; 29,67; 29,64; 29,65; 29,67; 29,65; 29,68; 29,69

1. По результатам составить таблицу распределения значений деталей выборки.

а) Цена разряда c=(x_max-x_min)/m, x_max – максимальное наблюденное значение, x_min – минимальное наблюденное значение, m – число интервалов, для n=50, m=7. Проверить, с>цены деления прибора. В случае необходимости пересчитать.

m=7;

x_{1 min}=29,61; x_{1 max}=29,7;

с₁=(29,7-29,61)/7=0,0128>0,01

x_{2 min}=29,63; x_{2 max}=29,73;

с₂=(29,73-29,63)/7=0,0142>0,01

x_{3 min}=29,63; x_{3 max}=29,71;

с₃=(29,71-29,63)/7=0,0114>0,01;

б) Подсчитать частоты f_i и относительные частоты m_i=f_i/n наблюденных значений по интервалам. Результаты занести в таблицу.

x1 i min	x1 i max	x1 i	f1 i	m1 i
29,61	29,623	29,616	3	0,06
29,623	29,636	29,629	11	0,22
29,636	29.649	29,642	7	0,14
29.649	29.661	29,655	11	0,22
29.661	29.674	29,668	7	0,14
29.674	29.687	29,681	3	0,06
29.687	29.7	29,694	8	0,16

x2 i min	x2 i max	x2 i	f2 i	m2 i
29,63	29,644	29,637	2	0,04
29,644	29,659	29,651	6	0,12
29,659	29.673	29,666	9	0,18
29.673	29.687	29,68	11	0,22
29.687	29.701	29,694	14	0,28
29.701	29.716	29,709	4	0,08
29.716	29.73	29,723	4	0,08

x3 i min	x3 i max	x3 i	f3 i	m3 i
29,63	29,641	29,636	6	0,12
29,641	29,653	29,647	8	0,16
29,653	29.664	29,659	7	0,14
29.664	29.676	29,67	9	0,18
29.676	29.687	29,681	8	0,16
29.687	29.699	29,693	6	0,12
29.699	29.71	29,704	6	0,12

2. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенной генеральной совокупности, рассчитать параметры статистического распределения:

а) , , . За x_i принимается середина разряда.

Средние арифметические:

=(29,616∙3+29,629∙11+29,642∙7+29,655∙11+29,668∙7+29,68∙3+29,694∙8)/50=29,654

=(29,637∙2+29,651∙6+29,666∙9+29,68∙11+29,694∙14+29,709∙4+29,723∙4)/50=29,682

=(29,636∙6+29,647∙8+29,659∙7+29,67∙9+29,681∙8+29,693∙6+29,704∙6)/50=29,669.

Выборочные дисперсии и среднеквадратические отклонения:

s₁²=(1/50)((29,616-29,654)²∙3+(29,629-29,654)²∙11+(29,642-29,654)²∙7+(29,655-29,654)²∙11+ +(29,668-29,654)²∙7+(29,68-29,654)²∙3+(29,694-29,654)²∙8)=0,0006;

s₁=0,025;

s₂²=(1/50)((29,637-29,682)²∙2+(29,651-29,682)²∙6+(29,666-29,682)²∙9+(29,68-29,682)²∙11+ +(29,694-29,682)²∙14+(29,709-29,682)²∙4+(29,723-29,682)²∙4)=0,0005;

s₂=0,024;

s₃²=(1/50)((29,636-29,669)²∙6+(29,647-29,669)²∙8+(29,659-29,669)²∙7+(29,67-29,669)²∙9+ +(29,681-29,669)²∙8+(29,693-29,669)²∙6+(29,704-29,669)²∙6)=0,0004;

s₃=0,021;

б) Определить значение σ=(1+q)s, q – коэффициент, определяющий границу доверительного интервала нахождения генеральной дисперсии распределения по найденному выборочному среднеквадратическому отклонению s. q взять из таблицы 4 [3] в зависимости от n.

для n=50 q=0,21:

σ₁=0,031; 3σ₁=0,093; σ₂=0,029; 3σ₂=0,087; σ₃=0,026; 3σ₃=0,078;

в) Построить кривую или гистограмму распределения наблюденных значений. Отметить на ней D, ВО, НО, и трехсигмовые пределы.

Р ис. 1. Гистограммы распределения выборочных значений

Вывод: очевидно, что первая выборка имеет существенное отклонение от требуемого размера, по сравнению с остальными, и может быть исключена из дальнейшего рассмотрения. Для двух оставшихся выборок необходимо произвести более точный анализ.

3. Определить вероятность получения брака.

а) Смещение оценки математического ожидания от требуемого размера:

| -D|=|29,65-29,67|=0,02

| -D|=|29,68-29,67|=0,01

| -D|=|29,67-29,67|=0;

б) Вероятный процент брака q=[0,5-Ф((δ-(| -D|))/σ)]∙100%.

q₁=[0,5-Ф((0,07-0,02)/0,031)]∙100%=[0,5-Ф(1,61)]∙100%=5,37%

q₂=[0,5-Ф((0,07-0,01)/0,029)]∙100%=[0,5-Ф(2,07)]∙100%=1,93%

q₃=[0,5-Ф((0,07-0)/0,026)]∙100%=[0,5-Ф(2,69)]∙100%=0,36%.

4. Сделать вывод.

Наименьший процент брака у третьей партии. Оценка мат. ожидания наиболее близка к требуемому размеру D у третьей партии. Среднеквадратическое отклонение наименьшее также у третьей партии. Следовательно, третья партия наилучшим образом соответствует требованиям.