Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Важнейшие распределения.

8.1. Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин.

Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью распределения f(x). Допустим, что все возможные значения .

Определение. Мат. ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат промежутку (a,b) называется определенный интеграл (8.1.)

Доказательство: разобьем отрезок (a,b) на n частичных отрезков длиной . Выберем в каждой из них точку (i=1,2, ... ,n).

Определим мат. ожидание непрерывной случайной величины по аналогии с дискретной. Составим сумму произведений возможных значений на вероятности попадания их в интервал :

приблизительно равно вероятности попадания X в

Перейдя к пределу при , т.е. при стремлении к нулю наибольшего из отрезков, получим: .

Если возможное значение X принадлежат оси OX, то .

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует интеграл .

Поаналогии с дисперсией дискретных величин определяется и дисперсия непрерывных величин.

Определение. Дисперсией непрерывных случайных величин называется мат. ожидание квадрата их отклонения.

Если возможные значения , то дисперсия

. (8.2.)

Если возможное значение принадлежит всей оси, то .

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется как и для величины дискретной .

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (a,b) равна приращению функции распределения в этом интервале.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равное 0.

8.2. Важнейшие распределения.

1. Случайная величина называется называется равномерно распределенной на (a,b) если ее плотность вероятности постоянна, a вне (a,b)=0.

Так как интеграл: , то .

Мат. ожидание

2. Случайная величина называется экспоненциально распределенной, если она имеет следующую плотность вероятности:

рис.2.

– параметр распределения.

Пример. Длительность службы электрической лампы можно рассмотреть с хорошим приближением, как экспоненциально распределенную величину

3. Среди случайных величин особенное, центральное место, занимают величины, плотность вероятности которых имеет вид: ,

и – параметры распределения. Такие случайные величины называются нормально распределенными.

– нормальная функция распределения вероятностей. Употребляются наименования: гауссова случайная величина и рапределение вероятностей Гаусса.

Таким образом нормальное распределение определяется двумя парами и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Можно показать, что для нормально распределенной случайной велличины равно параметру , т.е.

Среднеквадратичное отклонение нормального распределения равно .

Замечание 1. Общим называется нормальное распределение с произвольными параметрами и .

Нормированным называется нормальное распределение с параметрами , . Плотность нормированного распределения:

– эта функция табулирована.

Замечание 2. общего нормального распределения имеет вид (8.3.).

нормированного распределения:

(8.3.)

Можно проверить, что .

Замечание 3. Вероятность попадания нормированной случайной величины в можно найти, пользуясь функцией Лапласа.

– интеграл вероятности.

Замечание 4. Учитывая, что и следовательно в силу симметрии : , т.е. , то . Легко получить, что

Укажем некоторые свойства :

1. определена при всех значениях Х.

2. =0

3. 

4. монотонно возрастает на .

5. нечетна, так как .