7.2. Функция и плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины.

Пусть Х - случайная величина функции распределения F(x) случайной величины Х называется функция F(x) = P(X<x)

Значение функции распределения в точке равно вероятности того, что случайная величина принимает значение меньше .

В теории вероятности случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения. При помощи F(x) можно указать

Можно указать то, что случайная величина попадает в заданный полуоткрытый промежуток. Распределение обладает следующими свойствами:

1)

2)

3. F(x) монотонно не убывает, при ;

4. F(x) непрерывна слева.

Случайная величина называется непрерывной если её функция распределения можно представить в виде , где f(t) неотрицательная функция называется плотностью распределения.

7.3. Плотность распределения вероятности непрерывности случайной величины.

Таким образом непрерывную случайную величину, можно также задать используя другую функцию, называющуюся плотностью распределения или плотностью вероятностью или дифференциальной функцией.

Определение: плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x)

Таким образом функция распределения является первообразной для плотности распределения. Для описания распределения вероятности дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

Теорема 7.1: вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение принадлежащую интервалу равна определённому интегралу от плотности распределения взятому в пределах от a до b:

(7.1)

Замечание: если f(x) чётная функция и концы интервалов симметричны относительно начала координат то

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения по формуле

Доказательство: действительно, по определению F(x)=P(X<x), очевидно, что неравенство X<x можно записать в виде . Полагая, что в соотношении (7.1) , получим, что

.

Таким образом, зная плотность распределения можно записать функцию распределения и наоборот

Пример: найти функцию распределения по данной плотности.

Построить график.

Решение:

если то ;

если a<x<b, то ;

если x>b .

Функция распределения:

1

a b

Свойства плотности распределения:

- плотность распределения неотрицательная функция.

Доказательство: функция распределения неубывающая функция , график плотности распределения называется кривой распределения.

- несобственный интеграл равен 1 .

Доказательство: выражает вероятность события состоящая в том, что случайная величина принимает значение принадлежащие интервалу . Очевидно, что такое событие достоверно, следовательно вероятность события равна 1. В частности если возможное значение случайной величины принадлежит отрезку , то