6.2. Определение дисперсии и ее свойства.

Таким образом для оценки рассеяния вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.

Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется мат. ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее мат. ожидания.

Пусть случайная величина задана законом распределеня:

		. . .
		. . .

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

		. . .
		. . .

По определению дисперсии:

Теорема 6.2. Дисперсия равна разности между мат. ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее мат. ожидания: .

Доказательство: – постоянная величина и .

6.3. Свойства дисперсии.

1. Дисперсия С=Const=0.

Доказательство:

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянна величина сохраняет одно и тоже значение и рассеяния не имеет.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат

Доказательство:

3. Дисперсия суммы равна сумме дисперсий:

Доказательство:

4. Дисперсия суммы нескольких взаимонезависимых случайных величин.

1.

2. , где с=Сonst.

Свойство становится понятным, если учесть, что величины х и х+с отличаются лишь началом отсчета, значит рассеяны вокруг своих мат. ожиданий одинаково.

5. Дисперсия разности равна сумме дисперсии.

, где х и y– независимые случайные величины.

6.4. Дисперсия числа появлений событий в независимых испытаниях.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянно.

Теорема 6.3. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность Р появления события постоянно и равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании.

Мат. ожидание числа появления события А в n независимых испытаний равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления в одном испытании .

Доказательство: рассмотрим случайную величину Х– число появлений события А в n независимых испытаний. Очевидно, общее число появлений события А в этих испытаниях равно сумме появления событий в этих испытаниях. , где – число наступления событий в одном испытании и т.д. Величины взаимонезависимы, поэтому .

Вычислим .

, так как – число появлений события А в одном испытании.

	0	1
	0

Аналогично можно вычислить и т.д.

6.5. Среднеквадратичное отклонение.

Для оценки рассеяния возможных значений случайных величин вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики, к их числу относятся среднеквадратичное отклонение.

Определение. Среднеквадратичное отклонение величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Пусть известны среднеквадратичное отклонение нескольких взаимонезависимых случайных величин, тогда