5.3. Биномиальное распределение дискретной случайной величины. Распределение Пуассона.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появляться либо нет. Вероятность появления события постоянна и равна р, вероятность непоявления события q=1-p. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х число появлений события А в этих испытаниях. Поставим задачу: найти закон распределения Х, т.е. определим возможные значения и их вероятности. Случайная величина А может принимать значения: 0,1,2,...,n. Вероятности найдем по формуле Бернулли:
Биномиальным называют распределение, определяемое по формуле Бернулли. Напишем биномиальный закон распределения в виде таблицы:
|
n |
n-1 |
n-2 |
. . . |
0 |
|
|
|
|
. . . |
|
Для определения
вероятностей появлений событий в
испытаниях используют формулу Бернулли.
Если n
велико, то используют асимптотическую
формулу Лапласа. Однако, если вероятность
события мала, то прибегают к асимптотической
формуле Пуассона. Найдем вероятность
того, что в n
испытаниях
(при очень большом числе испытаний), в
акждом из которых вероятность мала,
событие наступает k
раз.
Предположим, nр
сохраняет постоянное значение 1 (
),
т.е. среднее число появления события в
различных сериях испытаний остается
неизменным.
Вывод формулы Пуассона:
Закон распределения Пуассона определяет закон распределения вероятности массовых и редких испытаний.
–
затабулирована
по
и
.
Лекция 6. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Закон распределения полностью характеризует случайную величину, но если он неизвестен, а иногда и выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно– это числовые характеристики случайной величины (мат. ожидание, дисперсия и т.д.).
Определение. Математическим ожидание дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных значений на их вероятности.
Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины.
Замечание. Математическое ожидание числа появления событий в одном испытании равно вероятности этого события.
Можем доказать,
что математическое ожидание приближенно
равно и тем точнее, чем больше
среднему арифметическому наблюдаемому
значению случайной величины.
Замечание. Очевидно, что больше наименьшего и меньше наибольшего возможного значения. На числовой оси значения распоожены слева и справа от . В этом смысле характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения.
Свойства математического ожидания:
.
6.1. Дисперсия дискретной случайной величины.
Легко указать такие случайные величины, которые имеют различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины X и Y, заданные:
X |
-0.01 |
0.01 |
P |
0.5 |
0.5 |
Y |
-100 |
100 |
P |
0.5 |
0.5 |
Таким образом зная лишь математическое ожидание случайной величины еще нельзя судить о том, какие возможные значения они могут принимать, и о том как они рассеяны, другими словами математические ожидания полностью ? ? ?
По этим причинам
рядом с математическим ожиданием вводят
другие характеристики. Так, например,
для того, чтобы оценить как рассеяны
возможные значения случайной величины
пользуются исловой характеристикой,
называемой дисперсией. Прежде всего
введем понятие отклонения случайной
величины от ее математического ожидания:
пусть Х– случайная величина
–
ее математическое ожидание. Рассмотрим
–
новую случайную величину.
Отклонением
называется разность между случайной
величиной и ее математическим ожиданием.
Пусть известен закон распределения случайных величины Х:
|
|
|
|
|
|
|
|
. . .
. . .
Напишем закон
распределения отклонения. Для того,
чтобы отклонение приняло значение
необходимо и достаточно, чтобы случайная
величина приняла значения
.
Верность этого
события-
следует
вероятность того,что
отклонение примет значение
тоже равна
.
Аналогично определяется и вероятности
для остальных отклонений случайной
величины. Таким образом отклонение
имеет следующий закон распределения:
|
|
. . . |
|
|
|
. . . |
|
Теорема
6.1. Мат.
ожидание
.