4.4 Вероятностные отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.
Найдём
вероятность того, что отношение
относительной частоты
от постоянной вероятности р по
абсолютной величине не превышает
заданного
.
Найдём вероятность осуществления
неравенства
(**). Эту вероятность будем обозначать
так:
,
заменим (**) ему эквивалентным
Применяя (*) получим:
Вероятность
осуществления неравенства (**)
приближённо равна удвоенной функции
Лапласа
, где
,
относительная
частота события А.
Лекция 5. Случайные величины.
5.1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Определение. Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, зависящее от случайных причин.
Определение. Дискретной (непрерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенной вероятностью.
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным.
Определение. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Для задания дискретной случайной величины на первый взгляд достаточно перечислить все ее возможные значения.
Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и их вероятностей. Закон распределения можно задать таблично, аналитически и графически. Случайные величины помимо законов распределения могут описываться числовыми характеристиками.
5.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
Среди численных характеристик различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана и др.) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение).
Математическим
ожиданием (средним значением по
распределению) называют число
,
определяемое формулой:
, (5.1)
где
–
возможные значения случайной величины;
–
их вероятности.
Причем
.
Мат. ожидание существует, если ряд (5.1.) сходится абсолютно.
Дисперсией случайной
величины X
называется неотрицательное число
,
определяемое формулой:
(5.2.)
Дисперсия существует, если ряд в правой части (5.2.) сходится.
Неотрицльное число
называется среднеквадратичным отклонением
случайной величины. Оно имеет размерность
случайной величины
X
и определяет некоторый стандартный
среднеквадратичный интервал рассеяния
симметрий относительно мат. ожидания.
(Случайную величину
иногда называют стандартным отклонением.)
Если случайная величина X
постоянна (т.е. X–
неслучайна), то дисперсия
.
Случайная величина
X
называется стандартизованной, если
и
.
Случайная величина
X
называется центрированной, если мат.
ожидание
.
Начальным моментом
k-го
порядка распределения случайной величины
X
(если он существует) называется число
.
Из определения моментов в частности следует, что:
Отметим две важные характеристики распределения, связанные с моментом высшего порядка:
–
асимметрия
или скошенность распределения,
–
коэффициент эксцесса или островершинности
распределения.
Мода дискретной
случайной величины определяется как
такое значение случайной величины
,
для которой
.
Мода дискретной случайной величины– ее наиболее вероятное значение (в случае, если такое значение есть). Мода может не существовать, может иметь единственное и множество значений.
Медианой дискретной случайной величины называется такое ее возможное значение, котороеделит распределение на две равные части.
Если число случайных
величин нечетно, т.е.
,
то медиана
.
Если число случайных
величин четно, т.е.
,
то медиана
.
Статистика.
Для вариационного
ряда модой
называют такую варианту, которая имеет
наибольшую частоту.
Н-р, для ряда
варианты |
1 |
4 |
7 |
9 |
частоты |
5 |
1 |
20 |
9 |
Медианой
называют варианту, которая делит
вариационный ряд на две равные части.
Н-р для ряда 1 7 4 3 2 ,
для ряда
2 6 1 3 8 ,
Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантой.
Н-р для ряда 1 2 10 4 3 R=10-1=9
Размах является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.
Средним абсолютным отклонением назыавют среднеарифметическое абсолютных отклонений.
Н-р для ряда
|
1 |
4 |
6 |
16 |
|
4 |
10 |
5 |
1 |
Среднее абсолютное отклонение служит для характеристики рассеяния вариационного ряда.
Коэффициентом
вариации V
называют выражение в процентах отклонения
выборочного к среднему:
Коэффициентом вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов. Тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент вариации безразмерная величина, поэтому он пригоден для рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.