Лекция 4. Повторные испытания. Локальная и интегральная теорема Муавра - Лапласа.

Наивероятнейшее число появления события А среди n повторных испытаний

Пусть испытание проводилось 6 раз, в каждом из которых событие появлялось с вероятностью 0.4, тогда вероятность противоположного события равна q = 1 - p = 0.6 .

Следовательно, наивероятнейшее число появления событий

4.1 Локальная теорема Муавра - Лапласа.

Формула Бернулли является точной, но она позволяет вычислить вероятность используя только маленькие факториалы, формулу Бернулли использовать трудоёмко , если количество испытаний велико, при этом существует множество теорем и формул с помощью которых можно вычислить P (k) приближённо, но с достаточной точностью.

Теорема 4.1 пусть вероятность Р наступления события А в каждом повторном испытании постоянно равна р отлично от 0 и 1, то при достаточно больших n справедлива формула

P (k) = (x) , где x = ; (x) = e

Замечание: формула Муавра - Лапласа является асимптотической формулой биноминального разложения, при достаточно больших n погрешность вычисления мала. Значение функции (х) имеется в справочниках.

Свойства функции:

1. Область определения: х .

2. Область изменения (х) (0; ].

3. Промежутки монотонности

(х) = e ;

при x<0 возрастает;

х>0 <0 убывает.

4. Промежутки выпуклости и вогнутости

при

5. Асимптоты

асимптоты горизонтальные

-1 0 1 x

4.2 Формула Пуассона.

Если число испытаний n велико, а вероятность наступления события в единичном испытании мала, то при этом погрешность вычисления вероятности возрастает в этом случае удобно применять формулу Пуассона.

Теорема 4.2 Если вероятность наступления события в каждом повторном испытании постоянна и мала, то при большом n справедлива формула

Замечания: 1.Формулу Пуассона применяют если ;

2.Составлены таблицы значений .

4.3 Интегральная теорема Муавра - Лапласа.

Пусть произведение т повторных испытаний в каждом из которых вероятность наступления событий постоянна и мала, отлична от 0 и 1. Интегральная теорема Муавра - Лапласа позволяет рассчитывать вероятность наступления событий А при n испытаниях, когда наступление не меньше и не более раз.

Теорема 4.3 Если вероятность наступления события А в каждом повторном испытании отлична от 0 и 1, то

, где

Замечание: функцию вида называют функцией Лапласа, её значения протабулированы.

Cвойства функции :

1. область определения : ;

2. функция нечётная: ;

3. при

; - интегральная формула Муавра - Лапласа.

Таким образом вероятность того, что событие А наступит не менее раз и не более раз в n испытаниях.

Эту формулу можно записать в другом виде, пусть m - число проявлений событий А в n независимых испытаниях, тогда , тогда в этом случае

Интегральную теорему Лапласа можно записать в виде

(*).