Лекция 2. Алгебра событий.

2.1. Объединение, пересечение событий. Противоположные события.

Лекция

Определение. Объединением или суммой нескольких событий называется событие, состоящие в появлении хотя бы одного из них.

Определение. Пересечением или произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Теорема 2.1. (О сложении вероятностей двух несовместимых событий.) Вероятность появления одного из двух несовместных событий, все равно какого, равна сумме этих вероятностей этих событий.

Доказательство: пусть n - общее число исходов, - число исходов, благоприятствующих наступлению события , - число исходов, благоприятствующих наступлению события , тогда

Обобщение теоремы 2.1. (О сложении попарно несовместимых событий.) Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство: аналогично.

Следствие 1. Пусть образуют полную группу событий, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

Доказательство: вероятность суммы , т. к. события

образуют полную группу , следовательно , это достоверное событие , а вероятность достоверного события равна 1. События являются несовместными , поэтому по теореме 2.1.:

Определение. (Противоположные события.) Противоположными событиями называются два единственно возможных события, которые образуют полную группу, например, событие и событие - противоположные события.

Следствие 2. Вероятность суммы двух противоположных событий равна 1.

- вытекает из следствия 1.

2.2. Зависимые и независимые события.

Определение. (Условной вероятности) Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленная в предположении , что событие уже наступило.

или

Теорема 2.2. (Об умножении вероятностей двух совместных событий) Вероятность совместного появления двух событий равно произведению вероятностей одного из них , умноженную на условную другого.

, при условии , что событие А произошло.

По определению условной вероятности , следует

Обобщение теоремы 2.2. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, где каждая условная последующая вероятность вычисляется в предположении, что все предыдущие события наступили.

Следствие 1. ( О произведении вероятностей независимых событий ) Пусть события А и В независимы, тогда вероятность всех совместных событий равна произведению вероятностей тех событий.

События называются независимыми в совокупности или просто независимыми, если они попарно независимы.

Следствие 2. Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема 2. 3. ( О вероятности появления хотя бы одного из независимых событий) Пусть события независимы в совокупности, тогда вероятность появления хотя бы одного из них вычисляется по формуле : .

Доказательство: пусть А - событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий . Событию А противоположным является событие , следовательно

Замечание. Если обозначим через , а через , то

Если все события независимы и равновозможны ( все их вероятности одинаковы) , тогда вероятность появления хотя бы одного события , где

.

Пример. В студии имеется три камеры. Вероятность быть включенной для каждой составляет Найти вероятность того, что в данное время будет:

1.) включена хотя бы одна камера ( событие А );

2.) включены все три камеры ( событие В );

3.) включена точно одна камера ( событие С ).

Решение:

- включена первая камера ,

- включена вторая камера ,

- включена третья камера .

1. =1 - 0.012 = 0.988

2.)

3.)

Теорема 2.4. ( О сложении вероятностей совместных событий ) Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного наступления.

Обобщение теоремы 2.4. Пусть А,В,С - совместные события , тогда вероятность их суммы равна:

Пример. Среди 25 билетов 5 хороших. 3 судента наудачу вытащили по одному билету. Найти вероятность того, что все 3 студента вытащили хорошие билеты.

А1 – первый студент вытянул хороший билет.

А2 – второй студент вытянул хороший билет.

А3 – третий студент вытянул хороший билет.

(Доказательство по т.2.4.).

События А₁+А₂+А₃ представим в виде (А₁+А₂)+А₃, тогда

Лекция 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Повторные испытания. Формула Бернулли.

3.1. Формула полной вероятности.Пусть некоторое событие А может наступить при появлении одного из несовместимых событий – образуют полную группу. Тогда справедлива формула полной вероятности

Доказательство: по условию А может наступить, если наступит одно из несовместных событий , поэтому А может быть представлено . Поэтому вероятность А равна сумме вероятностей этих событий. События –несовместны.

События B₁ и A, B₂ и A,... B_n и A – события совместимые, поэтому , , .

3.2. Формула Байеса.

Будем считать, что событие А может наступать при появлении одного из несовместимых событий. –образуют полную группу, но заранее не известно, какое из событий наступает, поэтому называют гипотезами. Формула Байеса позволяет переоценить вероятность гипотез, после того, как результат эксперимента известен. Поскольку –несовместны, то для события А справедлива формула полной вероятности. Формула Байеса имеет вид: .

Доказательство: Так как события –несовместимы и образуют полную группу, то .

Вероятность совместного наступления2 событий и А–вероятность произведения ;

где находится по формуле полной вероятности.

Пример: при отклонении от нормального режима работы автомата, срабатывает сигнализация и . Вероятность того, что автомат снабжен сигнализацией или и . Получен сигнал о том, что автомат остановился. Что вероятнее: автомат снабжен или

Решение: А – сигнал получен,

– автомат снабжен сигнализацией С₁.

– автомат снабжен сигнализацией С₂.

Найти: .

, .

Вероятность того, что автомат снабжен сигнализацией С₁.

3.3. Повторные испытания. Формула Бернулли.

Повторными испытаниями называется ряд опытов, проведенных при одних и тех же условиях. Независимыми испытаниями называются также испытания, в каждом из которых событие А наступает независимо от других испытаний.

Пусть А – противоположное, .

Формула Бернулли имеет вид: .

С помощью формулы находим, что в n испытаниях событие наступает k раз.

Доказательство: Вероятность сложного события состоит в том, что событие А наступает k раз и не наступает n-k раз. По теореме умножения вероятности независимых событий получаем . Всего этих событий было , поэтому вычисляется по формуле Бернулли.

Замечание: вероятность достоверного события равна 1.

, используя биномиальное разложение , –вероятность наступления события в единичном испытании, –противоположное событие.

Так как по формуле Бернулли вероятность того, что в испытаниях , то .

Определение. Дискретной, случайной величиной, называется случайная величина, принимающая отдельные, изолированные значения.

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется перечень значений случайной величины, их вероятность. Вероятности, вычисленные по формуле Бернулли, дают биномиальные распределения.

Пример. Производятся выстрелы. –вероятность попадания при одном выстреле.

Найти вероятность того. Что при 6 выстрелах будут все промахи, 1 попадание, 2, 3, и т.д. Построить кривую распределения.

Поскольку эти события образуют полную группу, то .

Полученный график называется многоугольником вероятности или полигоном вероятности.