Лекция 13. Корреляция и регрессия.
13.1 Ковариация.
В предыдущем параграфе были рассмотрены условие распределение случайных величин, если условный закон распределения одной величины изменяется в зависимости от значений принимаемой другой случайной величиной, такую взаимосвязь называют стохастической или вероятностной. Одной из характеристик стохастической взаимосвязи двух случайных величин называют ковариационной случайной величиной.
Определение:
ковариационной случайной величиной
или корреляционным моментом называют
число
,
равное математическому ожиданию
произведения отношения случайной
величины (
)
от своих математических ожиданий.
(
* )
Ковариацию называют так же вторым смешанным центральным моментом случайной величины .
Кроме (*) ковариацию можно вычислить так же:
Из свойств математического ожидания следует, что:
Ковариационная
матрица случайного вектора
называется матрица элементов которой
является
Из
свойств ковариации следует, что
ковариационная матрица является
симметричной
.
Диагональные элементы равны дисперсии
случайной величины, т.е.
.
Детерминированной
называется дисперсия которую можно
использовать как меру рассеивания
n-
мерной случайной величины.
Ковариационная
матрица и вектор средних
,
являются основными числовыми
характеристиками случайного вектора
х.
Если случайная величина
независимы, то вне диагонали элементы
равны нулю
В качестве
количественной характеристики
зависимости случайно величины
коэффициент корреляции
.
Равный ковариационный момент случайной
величины
Корреляционная
матрица случайного вектора х
равна (
)
называется матрицей R
элементами которой являются коэффициенты
корреляции,
13.2 Коррелированные и зависимые случайные величины.
Две случайные величины Х и У называются коррелированными если корреляционный момент или коэффициент корреляции отличен от нуля и Х,У - некоррелированные если и корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины так же являются зависимыми величинами, обратное предположение не всегда имеет место, т.е. если две величины зависимы они могут быть как коррелированные так и некоррелированные. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть как равным нулю, так и не равным нулю. Итак, из корреляции двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости не следует их коррелированность . из независимости следует некоррелированность, но из некоррелированности не следует независимость.
Нормальным законом распределения называют распределение вероятностей двух случайных величин Х, У, если плотность распределения имеет вид
(**)
Очевидно,
что нормальный закон на плоскости
определяется параметрами
.
Можно убедится в том, что если
составлять двумерное нормальное
распределение случайной величины
некоррелированное, то они независимы.
Если составлять нормальное распределение
случайной величины некоррелированное.
То плотность совместного распределения
системы равна произведению плотности
распределенного состояния
Отсюда следует независимость состава. Справедливо и обратное утверждение. Итак, для нормального распределения составляют двумерную случайную величину понятия независимость и некоррелированность равносильны.