3. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности). Ее свойства.

Предположим, что функция распределения всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением конечного числа кривых), непрерывную частную производную второго порядка.

Определение. Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины называют сторую смешанную частную производную от функции распределения . Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, называемую поверхностью распределения.

Свойство 1. Двумерная плотность вероятности больше или равна нулю: .

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от функции ;

.

Замечание. Плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменные интегрирования соответствуют другой составляющей.

Свойство 3.

4. Условное математическое ожидание.

Для того, что бы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной случайной величины введем понятие условия распределения. Рассмотрим дискретную случайную величину (x,y). Пусть возможное значение составляющих

Определение. Условным распределением составляющей х при называется совокупность условных вероятностей , вычесленная в предположении, что событие уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей Y.

Определение. Пусть – непрерывная дискретная случайная величина с условной плотностью распределение составляющей х при данном значении называется отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей Y.

(*)

Важной характеристикой условного распределения вероятности является условие математического ожидания.

Определение. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y, при Х=х (х–определенное возможное значение Х) называется произведение возможных значений Y на их условные вероятности.

.

Для некоторых величин:

где –это условная плотность случайной величины Y при Х=х.

Условное математическое ожидание есть функция от f(x), которая называют функцией регрессии Y на Х. Аналогично определяют условное мат. ожидание случайной величины Х и функции регрессии Х на Y: .

5. Зависимые и независимые лучайные величины.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения была равна произведению составляющих

.

Следствие. Для того, чтобы случайные величины были независимы, необходимо и достаточно, что бы плотность совместного распределения системы была равна произведению плотности распределения составляющих

.

6. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

К числовым характеристикам системы двух случайных величин относятся корреляционный момент и кожффициент корреляции.

Определение. К ореляционным моментом случайных величин Х и Y называется мат. ожидание произведения отклонения этих величин

.

Для вычисления кореляционого момента дискретной величины используют формулу .

Для непрерывной величины используется формула:

.

Свойства.

1) Кореляционнный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y. Если Х и Y независимы, то . Если же , то Х и Y зависимые случайные величины.

Коэффициентом корреляции случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению среднего квадратичного отношений этих случайных величин

–безразмерная величина.

Таким образом величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

Очевидно, что коэффициент корреляции не зависит от случайных величин, равных 0, т.к. .

2) Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.

3) Абсолютная величина коэффициента корреляции .