Лекция 12. Двумерные случайные величины.

Их законы распределения и числовые характеристики.

12.1. Общие понятия.

Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определены двумя, тремя и т.д. числами. Такие величины двумерными, трехмерными и т.д. Будем обозначать через – двумерную случайную величину. Каждую из величин и называют составляющей (компонентой). Обе величины и , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Пример. Станок автомат штампует стальные плитки. Если контрольными размерами считать длину Х и ширину Y, то имеем двумерную случайную величину (X,Y), если же контролируется и высота Z, то получим трехмерную величину (X,Y,Z).

Определение. Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений случайной величины, т.е. пар чисел , и их вероятность _{. ­}Обычно закон распределения задают таблицей с двойным входом.

Y	X
	x1	x2	. . .	xn
y1	P(x1,y1)	P(x2,y1)		P(xn,y1)
y2	P(x1,y2)	P(x2,y2)		P(xn,y2)
. . .
yn	P(x1,yn)	P(xn,yn)		P(xn,yn)

В клетке, стоящей на пересечении столбца и строки – стоит вершина P(x_i,y_i) так, что двумерная случайная величина примет значение .

Т.к. события образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенной во всех клетках таблицы . Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих.

Вероятность того, что примет значение x_i равна сумме вероятностей столбца x_i, аналогггично сложив вероятности строки y_i, получим вероятности .

12.2. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства.

Определение. Функцией распределения двумерной случайной величины (X,Y) называется функция , определенная для каждой пары чисел (x,y). Вероятность того, что Х примет значение меньше х и при этом Y примет значение меньше y.

Геометрически это раввенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная точка (x,y) попадает в бесконечный квадрат с вершиной в точке (x,y), расположенный левее и ниже этой вершины (рис.12.1.).

Пример. Найти вероятность того, что в результате испытаний составляющая Х двумерной случпйной величины (X,Y) примет значение меньше 2-х, и при этом составляющая Y примет значение меньше 3-х, если известно, что .

По определению, . Получим: вероятность .

Свойство 1. Значение функции распределения удовлетворяет двойному неравенству .

Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е. . Если , и и если .

Свойство 3. Имеет место предельное соотношение

Свойство 4. При , функция распределения системы становится функцией распределения составляющей х: . Аналогично при .