8.3. Нормальная кривая.

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию методами дифференцирующего исчисления.

1. Очевидно, что функция определена на всей оси ОХ.

2. При всех значениях функции принимает положительное значение.

3. Предел функции при неограниченном возрастании , т.е. ось ОХ служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуем функцию на экстремум .

если x=a.

Если x<a, – функция возрастает, если x>a, – функция убывает. Следовательно в точке x=a функция имеет максимум .

5. График функции симметричен относительно прямой x=a.

6. Исследуем функцию на точки перегиба =

при

Можно проверить, что при переходе через эти точки вторая производная меняет знак. В обеих этих точках значение функции равно: . Таким образом точки графика с координатами и – точки перегиба.

Выясним, как влияют на форму и расположение нормальной кривой :

1. Измение величины (мат. ожидание) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к сдвигу по оси ОХ (вправо, если возрастает, влево, если убывает).

2. С возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится полной (сжимается к оси ОХ). При убывании кривая становится островершинной и растягивается вдоль OY.

При любых значениях площадь, ограниченная нормальной кривой и ОХ равна 1

Лекция 9. Математическая статистика.

9.1. Генеральная и выборочная совокупность.

Если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность деталей, а количественным признаком–контролируемый размер.

Определение. Выборочной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производят выборку.

Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариантов и соответствующих частот, или относительных частот.

9.2. Полигон и гистограмма.

Определение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , ,..., . Для построения на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – частоты .

Полигоном отклонения частот называется ломанная, отрезки которой соединяют точки .

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основания которых – частичные интервалы длиной , а высоты – –плотность частоты.

Площадь -ого частичного прямоугольника равняется , т.е. сумма частот вариант -ого интервала, следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот., т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частотные интервалы длиной и высотой – . Площадь равняется сумме всех относительных частот, равных 1.

3. Эмпирическая функция распределения.

– число наблюдений,

– общее число наблюдений, объем выборки.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция , определяющую для каждого , отличного от . В отличии от эмпирической функции распределения, функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различия между эмпирической и теоретической функциями распределения состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события , а эмпирическая определяет относительную частоту этого же события.

Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемой случайной величины – статистическая оценка неизвестного параметра. Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру . Возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т.е. значительна.

Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном выборки имеет наименьшую возможную дисперсию.