
- •1. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики.
- •1.1 Предмет теории вероятностей.
- •1.2 Элементы комбинаторики.
- •1.3 Основные понятия теории вероятностей.
- •Лекция 2. Алгебра событий.
- •2.1. Объединение, пересечение событий. Противоположные события.
- •2.2. Зависимые и независимые события.
- •Лекция 4. Повторные испытания. Локальная и интегральная теорема Муавра - Лапласа.
- •4.1 Локальная теорема Муавра - Лапласа.
- •4.2 Формула Пуассона.
- •4.3 Интегральная теорема Муавра - Лапласа.
- •4.4 Вероятностные отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.
- •Лекция 5. Случайные величины.
- •5.1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •5.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •5.3. Биномиальное распределение дискретной случайной величины. Распределение Пуассона.
- •Лекция 6. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •6.1. Дисперсия дискретной случайной величины.
- •6.2. Определение дисперсии и ее свойства.
- •6.3. Свойства дисперсии.
- •6.4. Дисперсия числа появлений событий в независимых испытаниях.
- •6.5. Среднеквадратичное отклонение.
- •Лекция 7. Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины.
- •7.1. Закон больших чисел.
- •7.2. Функция и плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины.
- •7.3. Плотность распределения вероятности непрерывности случайной величины.
- •Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Важнейшие распределения.
- •8.1. Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин.
- •8.2. Важнейшие распределения.
- •8.3. Нормальная кривая.
- •Лекция 9. Математическая статистика.
- •9.1. Генеральная и выборочная совокупность.
- •9.2. Полигон и гистограмма.
- •3. Эмпирическая функция распределения.
- •4. Генеральная средняя и выборочная средняя.
- •5. Генеральная и выборочная дисперсия.
- •Лекция 10. Проверка статистических гипотез.
- •10.1 Общие положения.
- •Лекция 12. Двумерные случайные величины.
- •12.1. Общие понятия.
- •12.2. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства.
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности). Ее свойства.
- •Условное математическое ожидание.
- •Зависимые и независимые лучайные величины.
- •Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
- •Лекция 13. Корреляция и регрессия.
- •13.1 Ковариация.
- •13.2 Коррелированные и зависимые случайные величины.
- •13.3 Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратичной регрессии.
- •Линейная и нормальная корреляция.
- •Оценка корреляции и регрессионной характеристики по выборке.
1. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики.
1.1 Предмет теории вероятностей.
Изучение вероятностей, закономерностей массовых однородных событий. Теория вероятностей применяется в различных отраслях. В теории массового обслуживания, геодезии, астрологии. Теория вероятностей служит для обоснования теоретической и практической статистики, которая используется при планировании и организации производства, при анализе технологического процесса, при обработке экспериментальных данных, при планировании качества и контроля продукции.
1.2 Элементы комбинаторики.
Рассмотрим
множество А = {a
,a
,...,a
}
из этих элементов можно составить
различные
комбинации
из
n
элементов по m
элементов, m
n
.
Определение: различные комбинации из m элементов по n отличных друг от друга лишь порядком расположения называется перестановками.
P = n! , при том, что 0!=1
Определение: различные комбинации из n элементов по m элементов (m n), которые отличаются друг от друга составом (хотя бы одним элементом), называется сочетаниями.
C
=
Основные свойства сочетаний:
число
сочетаний : С
=С
;
Определение: различные комбинации из n элементов по m элементов которые отличаются и составом и порядком называют размещением.
Число размещений из n элементов по m элементов обозначают А и вычисляют по формуле: А =n(n-1)...(n-m+1)
Имеют место формулы связывающие размещения, перестановки, сочетания:
А
=
А =Р С
1.3 Основные понятия теории вероятностей.
Случайное событие - событие (исход) случайное, если при реализации комплекса условий оно может произойти или не произойти.
Случайное событие - достоверное, если при реализации определённого комплекса условий оно наверняка наступит.
Случайное событие - невозможное, если при реализации определённого комплекса условий оно никогда не наступит.
Относительной частотой события называют отношения числа случаев наступления этого события к числу испытаний.
W(A)=
m - число наступления события А;
n - число испытаний.
Событие А ,...,A образуют полную группу событий, если в результате испытаний наступит хотя бы одно из них.
Два события несовместны если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление другого.
Классическое определение вероятности.
Определение: вероятностью события А называют отношение числа благоприятных исходов при которых появляется событие А к общему числу исходов которые образуют полную группу.
Р(А)=
m - число исходов благоприятствующих наступлению события А; n - общее число исходов образующих полную группу.
Следствие:
Вероятность наступления события А число большее либо равное нулю, 0 Р(А) 1.
Вероятность достоверного события А равна 1, Р(А) = 1.
Вероятность невозможного события А равна 0, Р(А) = 0.
Геометрическое определение вероятности.
Классическое определение вероятности имеет свои недостатки. Оно неприменимо тогда, когда в испытании возможно бесконечное число исходов, в этом случае применяют геометрическое определение вероятности, т.е. вероятность попадания точки в какую - либо область.
Р(А)
=
где g - измерение в заданной области.
Найти
вероятность попадания точки в область
s
S
:
S
s
Замечание: в случае классического определения вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0. Обратно: если вероятность события равна 0, то событие невозможно. В случае геометрической вероятности утверждать обратное нельзя, т.е. вероятность попадания точки в заданную точку равна 0, с другой стороны оно не является невозможным.