1. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики.

1.1 Предмет теории вероятностей.

Изучение вероятностей, закономерностей массовых однородных событий. Теория вероят­ностей применяется в различных отраслях. В теории массового обслуживания, геодезии, астрологии. Теория вероятностей служит для обоснования теоретической и практической статистики, которая используется при планировании и организации производства, при ана­лизе технологического процесса, при обработке экспериментальных данных, при планиро­вании качества и контроля продукции.

1.2 Элементы комбинаторики.

Рассмотрим множество А = {a ,a ,...,a } из этих элементов можно составить

различные комбинации из n элементов по m элементов, m n .

Определение: различные комбинации из m элементов по n отличных друг от друга лишь порядком расположения называется перестановками.

P = n! , при том, что 0!=1

Определение: различные комбинации из n элементов по m элементов (m n), которые от­личаются друг от друга составом (хотя бы одним элементом), называется сочетаниями.

C =

Основные свойства сочетаний:

число сочетаний : С =С ;

Определение: различные комбинации из n элементов по m элементов которые отличаются и составом и порядком называют размещением.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначают А и вычисляют по фор­муле: А =n(n-1)...(n-m+1)

Имеют место формулы связывающие размещения, перестановки, сочетания:

А =

А =Р С

1.3 Основные понятия теории вероятностей.

Случайное событие - событие (исход) случайное, если при реализации комплекса условий оно может произойти или не произойти.

Случайное событие - достоверное, если при реализации определённого комплекса условий оно наверняка наступит.

Случайное событие - невозможное, если при реализации определённого комплекса условий оно никогда не наступит.

Относительной частотой события называют отношения числа случаев наступления этого события к числу испытаний.

W(A)=

m - число наступления события А;

n - число испытаний.

Событие А ,...,A образуют полную группу событий, если в результате испытаний на­ступит хотя бы одно из них.

Два события несовместны если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление другого.

Классическое определение вероятности.

Определение: вероятностью события А называют отношение числа благоприятных исхо­дов при которых появляется событие А к общему числу исходов которые образуют пол­ную группу.

Р(А)=

m - число исходов благоприятствующих наступлению события А; n - общее число исходов образующих полную группу.

Следствие:

1. Вероятность наступления события А число большее либо равное нулю, 0 Р(А) 1.

2. Вероятность достоверного события А равна 1, Р(А) = 1.

3. Вероятность невозможного события А равна 0, Р(А) = 0.

Геометрическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности имеет свои недостатки. Оно неприменимо тогда, когда в испытании возможно бесконечное число исходов, в этом случае применяют гео­метрическое определение вероятности, т.е. вероятность попадания точки в какую - либо область.

Р(А) =

где g - измерение в заданной области.

Найти вероятность попадания точки в область s S :

S

s

Замечание: в случае классического определения вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0. Обратно: если вероятность события равна 0, то событие невозможно. В случае геометрической вероятности утверждать обратное нельзя, т.е. вероятность попадания точки в заданную точку равна 0, с другой стороны оно не является невозможным.