2.3. Геометрическая интерпретация уравнения Лауэ. Построение Эвальда.

Пространство обратной решетки называется пространство Фурье. В Фурье пространстве правило отбора и имеют геометрическую интерпретацию – построение Эвальда (рис. 2.3).

обратная решетка

Рис. 2.3. Построение Эвальда.

Построение Эвальда заключается в следующем:

1. Найдем обратную решетку кристалла, подсчитав длины . Построим сетку обратной решетки. Выберем узел обратной решетки за начальный. Направление вектора совпадает с направлением падающей волны. Вектор заканчивается на произвольном узле обратной решетки. Обозначим этот узел 0 0 0.

2. Рисуем сферу радиусом =2/ с центром в начале вектора . Если сфера пересекает еще один узел обратной решетки – наблюдается дифракция. Дифрагированная волна распространяется вдоль .

Построением Эвальда очень удобно пользоваться для предсказания углов поворота кристалла и направления дифрагированных лучей. Обратная решетка жестко связана с кристаллической решеткой кристалла, при повороте кристалла вместе с ним поворачивается и обратная решетка. Для наблюдения дифракции кристалл поворачивают так, чтобы вектор рассеяния совпал бы с одним из узлов обратной решетки. С помощью геометрии можно вычислить необходимые углы поворота обратной решетки (и кристалла), а затем определить, под какими углами должен быть расположен детектор излучения, регистрирующий волны с вектором .

Из рис. 2.3 видно, что между длинами векторов и существует связь:

 .

Так как (смотри лекцию №1) и , то

получаем формулу Брэгга-Вульфа: 2dsin = n (в данном случае n=1).

2.4. Зоны Бриллюэна.

Зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вигнера-Зейтца в обратной решетке. Она обладает важным свойством: волны и частицы, волновой вектор которых находится на ее границе, удовлетворяют условию дифракции.

Запишем условие дифракции (**) в виде

(для удобства заменили на - ).

Перепишем это выражение в виде:

Построим плоскость, перпендикулярную к вектору и проходящую через его середину. Тогда произвольный вектор , проведенный до этой плоскости из точки, выбранной из начала координат, будет удовлетворять условию дифракции (рис.2.4). Построенная таким образом плоскость образует часть границы зоны Бриллюэна.

Рис.2.4. Узлы обратной решетки в окрестности точки О, выбранной за начало координат. Плоскости 1 и 2 являются серединными перпендикулярами к векторам и соответственно. Произвольные векторы (например, и ), проведенные из т. О и оканчивающиеся на плоскостях 1 и 2, удовлетворяют условиям дифракции

Рис.2.5. Квадратная обратная решетка

Рассмотрим двухмерную квадратную обратную решетку (рис.2.5). Тонкими сплошными линиями показаны векторы обратной решетки . Пунктирные линии являются серединными перпендикулярами к этим векторам. Квадрат 1, расположенный в центре рисунка, имеет наименьшую площадь из всех квадратов, расположенных в окрестности начала координат. Этот квадрат является примитивной ячейкой Вигнера-Зейтца в обратной решетке. Ячейка Вигнера-Зейтца обратной решетки называется первой зоной Бриллюэна. Симметрия первой зоны Бриллюэна такая, как у обратной решетки. Зонам Бриллюэна с более высокими порядковыми номерами соответствуют области вне первой зоны Бриллюэна (например, область 2 на рис. 2.5), ограниченные плоскостями, которые проходят через середины отрезков, соединяющих центр первой зоны с остальными узлами обратной решетки, и перпендикулярны этим отрезкам. Вторая зона, третья зона и т.д. состоят из нескольких частей. Объемы всех зон одинаковы.

Пример: На рис.2.6 представлены одномерные кристаллическая и обратная решетки. Базисным вектором обратной решетки является вектор ( ). Вектор обратной решетки . Кратчайшими векторами обратной решетки, проведенными из начала координат, являются векторы и - . Серединные перпендикуляры к этим векторам – это и есть границы первой зоны Бриллюэна. На этих границах .

Рис.2.6. Одномерные кристаллическая и обратная решетки.