206

7. Нелинейное программирование

Задачи нелинейного программирования по сравнению с задачами линейного программирования обладают большим многообразием. На рис. 7.1 представлены возможные варианты расположения точки экстремума для случая двух переменных. Так, в случае линейных ограничений и нелинейной функции цели экстремума могут достигнуть в крайней точке (вершине) допустимой области значений (рис. 7.1, а), в одной из точек, лежащих на ограничивающих прямых (рис. 7.1, б), и, наконец, в точке, расположенной внутри области (рис. 7.1, в). Пунктирные концентрические окружности изображают линии постоянных значений функции цели, сплошные линии − границу области допустимых значений. В случае на рис. 7.1, б экстремум определяется как точка касания прямой, ограничивающей допустимую область значений, и линии равных значений функции цели.

а

б

в

Рис. 7.1. Различные случаи оптимума в задачах нелинейного программирования

Решение задач нелинейного программирования может давать два или более экстремума, тогда как решение линейного программирования дает один экстремум. На рис. 7.2 показан случай, соответствующий линейным ограничениям и нелинейной (квадратичной) функции цели, где она достигает максимального значения в двух точках А (локальный максимум) и В (глобальный максимум). На этом рисунке пунктиром обозначены постоянные значения функции цели f = const = α_i, сплошной линией ограничена область допустимых значений. При нелинейных ограничениях может иметь место случай многосвязной области допустимых значений, и в каждой изолированной подобласти функция цели может достигать своего одного или нескольких локальных экстремумов. На рис. 7.3 представлен случай двусвязной области, в которой функция цели достигает локальных экстремумов. Максимум в точке В – глобальный для всей области допустимых значений, в точке А – локальный.

Рис. 7.2. Случай двух экстремумов при односвязной области допустимых значений

Рис. 7.3. Случай двух экстремумов при двусвязной области допустимых значений

Этими причинами объясняется отсутствие общих методов, подобных симплекс − методу в линейном программировании, позволяющие решать любые задачи линейного программирования. Вместе с тем отдельные специальные типы нелинейных задач достаточно хорошо изучены. Это относится и к задачам с выпуклыми (вогнутыми) целевыми функциями, рассматриваемыми на выпуклых множествах.

7.1. Постановка задачи нелинейного программирования и ее геометрическая интерпретация

Задача нелинейного программирования формулируется следующим образом:

определить минимальное значение функции

f(x) → min (7.1)

при условии, что её переменные удовлетворяют соотношениям

g_i(x) = b_i, i = 1:l, (7.2)

g_i(x)  b_i, i = (l+1):m, (7.3)

где f(x), g_i(x), i = 1:m − некоторые известные функции (необязательно линейные) n переменных, а b_i − заданные числа. Считаем, что все функции f_i(x), g_i(x), i = 1:m определены на некотором открытом множестве X Eⁿ. Для упрощения ограничимся случаем Х = Еⁿ.

Условие неотрицательности переменных x_j  0, j = 1:n, входящее в постановки многих задач нелинейного программирования, можно записать в виде неравенств (7.3), положив g_j(x) = -x_j , b_j = 0.

В евклидовом пространстве Eⁿ система ограничений (7.2) … (7.3) определяет область допустимых решений задачи. В отличие от задачи линейного программирования она не всегда является выпуклой.

Cформулированная задача (7.1) … (7.3) представляет собой частный случай общей задачи математического программирования, заключающийся в определении наименьшего значения целевой функции f(x) на допустимом множестве

Х = {х Х | g_i(х) = b_i, i = 1:l, g_i(х) ≤ b_i, i = (l+1):m}.

Отметим, что если все функции g_i(х) непрерывны в Еⁿ, то множество Х замкнуто.

Большинство известных методов решения задачи нелинейного программирования позволяют найти лишь точки локального минимума целевой функции на заданном множестве. В этой связи важную роль играет априорная информация о существовании решения задачи, т.е. информация о том, достигает ли целевая функция наименьшего значения на допустимом множестве. В частности, если множество Х ограничено, а целевая функция непрерывна на Х, то задача нелинейного программирования имеет решение.

Однако проверить ограниченность множества Х не просто. Поэтому интересны другие условия, налагаемые на целевую функцию и ограничения и позволяющие делать заключение о существовании решения без использования ограниченности допустимого множества. В задаче выпуклого программирования, в которой целевая функция выпукла и допустимое множество Х выпукло, любая точка локального минимума целевой функции, согласно утверждения 3.1, является решением этой задачи.

Если определена область допустимых решений, то нахождение решения задачи (7.1) … (7.3) сводится к определению такой точки этой области, через которую проходит гиперплоскость наинизшего уровня: f(x) = α , где α − произвольное число.

Процесс нахождения решения задач нелинейного программирования (7.1)…(7.3) с использованием её геометрической интерпретации включает следующие этапы:

1. Находят область допустимых решений задачи, определяемую соотношениями (7.2) … (7.3).

2. Строят гиперплоскость f(x) = α.

3. Определяют гиперплоскость наинизшего уровня или устанавливают неразрешимость задачи из-за неограниченности функции (7.1) снизу на множестве допустимых решений.

4. Находят точку области допустимых решений, через которую проходит гиперплоскость наинизшего уровня, и определяют в ней значение функции (7.1).

Пример 7.1. Найти максимальное значение функции

f(х) = x₂ − x₁² + 6x₁ (7.4)

при условиях

(7.5)

x₁, x₂  0. (7.6)

Решение. Так как целевая функция (7.4) нелинейная, то задача (7.4) … (7.6) является задачей нелинейного программирования. Областью допустимых решений данной задачи является многоугольник 0АВС (рис. 7.4). Следовательно, для нахождения её решения нужно определить такую точку многоугольника 0АВС, в которой функция (7.4) принимает максимальное значение. Построим линию уровня f(х) = x₂ − x₁² + 6x₁ = α , где α – некоторая постоянная, и исследуем её поведение при различных значениях α.. При каждом значении α получаем параболу, которая чем дальше отдалена от оси 0x₁, тем больше значение α.. Значит, функция f принимает максимальное значение в точке касания одной из парабол с границей многоугольника 0АВС. В данном случае это точка D (рис. 7.4), в которой линия уравнения f = x₂ − x₁² + 6x₁ = 13 касается стороны АВ многоугольника 0АВС.

Координаты точки D можно найти из системы уравнений

Решая эту систему, получим x₁^* = 3; x₂^* = 4. Итак, f_max = 13 при x^* (3;4).

Рис. 7.4. Область допустимых решений

Для нахождения гиперплоскости наинизшего уровня можно руководствоваться следующими соотношениями: точка x^* = (x_{1 min}, x_{2 min}) принадлежит прямой x₂ = 0 и параболе f_min = x₂ − x₁² +6x₁ , а потому обоим этим уравнениям, т. е. может быть определена как решение системы

(7.7)

Однако, так как нам не известно f* − оптимальное значение целевой функции f(x₁, x₂), то в этой системе оказывается три переменных и всего два уравнения, поэтому систему необходимо дополнить ещё одним уравнением, связывающим переменные x₁, x₂, f_min.

Нужное уравнение можно получить, если учесть, что угловой коэффициент касательной к параболе, по которой целевая функция достигает своего минимального значения, равен 1: касательной в этой точке является прямая x₂ = 0. Как мы знаем, угловой коэффициент касательной к кривой x₂ = f(x₁) в точке x₁ равен ∂x₂ / ∂x₁. Поэтому в нашем случае имеем

∂x₂ / ∂x₁ = 0. (7.8)

Вычислим теперь производную целевой функции f_min. Для этого продифференцируем левую и правую часть этого соотношения по x₁. Получим:

0 = 0 − 2x₁ + 6. (7.9)

Первое слагаемое дифференцируем, как сложную функцию от x₂:

∂[x₂]/∂x₁ = ∂[x₂]/∂x₂·∂x₂/∂x₁ = 0.

Откуда из (7.9) следует 0 = 2x₁ +6. Если учесть (7.8), то окончательно получим:

2x₁ − 6 = 0, x₁ = 3.

Дополняя этим последним соотношением систему (7.7), окончательно получим:

Откуда −9 + 18 = f*, f* = 9.

Для нахождения максимального значения функции поступаем аналогичным образом. Получаем систему:

Решая её, получим f_max = 13.

Рассмотрим задачу нелинейного программирования, в которой все ограничения заданы линейными функциями, на переменные x₁,…, x_n наложены условия неотрицательности, а целевая функция нелинейная.

Пример 7.2. Найти оптимальный план x^*(x₁^*, x₂^*), такой, чтобы выполнились ограничения

(7.10)

x₁  0, x₂  0 (7.11)

и целевая функция

f(х) = 10(x₁ − 3,5)² + 20(x₂ − 4)² (7.12)

достигала на нём своего минимума.

Решение. Рассматриваемая задача относится к классу задач так называемого квадратичного программирования.

Геометрически построим допустимый многогранник Х. На рис.7.5, кроме области допустимых значений переменных x₁, x_2, линии уровня функции f(x₁, x₂), представляющие собой концентрические эллипсы с центром в точке (3,5; 4).

Поскольку мы ищем точку х^* = (х₁^* , х₂^*) доставляющую минимум целевой функции f(x₁, x₂), то таковой будет точка касания одного из эллипсов с границей многогранника Х. Из рис.7.5 видно, что это будет точка касания эллипса, которая является линией уровня f(x₁, x₂) = 15, т. е. эллипса

10(x₁ − 3,5)² + 20(x₂ − 4)² = 15

и прямой

x₁ + x₂ = 6 (7.13)

Рис. 7.5. Область допустимых решений

Для аналитического определения координат оптимальной точки x^* = (x₁^*, x₂^*) можно руководствоваться следующими соображениями: точка x^* = (x₁^*, x₂^*) принадлежит прямой (7.13) и эллипсу

f^* = 10(x₁ − 3,5)² + 20(x₂ − 4)², (7.14)

а потому обоим этим уравнениям, т.е. может быть определена как решение системы:

x₁ + x₂ = 6

f^* = 10(x₁ − 3,5)² + 20(x₂ − 4)² (7.15)

Однако, так как нам не известна f^* − оптимальное значение функции f(x₁, x₂), то в этой системе оказывается три переменные и всего два уравнения, поэтому систему необходимо дополнить ещё одним уравнением, связывающим переменные x₁, x₂, f^*.

Нужное уравнение можно получить, если учесть, что угловой коэффициент касательной к эллипсу, на котором целевая функция достигает своего максимального значения, равен 1: касательной в этой точке является прямая x₂ = − x₁ + 6. Угловой коэффициент касательной к кривой x₂ = f(x₁) в точке x₁ равен:

∂x₂ / ∂x₁ = − 1. (7.16)

Вычислим теперь производную неявной функции (7.14). Для этого продифференцируем левую и правую части этого соотношения по x₁. В результате получим:

0 = 20(x₁ – 3,5)² + 40(x₂ − 4)² ·∂x₂ / ∂x₁.

Второе слагаемое дифференцировалось как сложное функция от x₁:

∂[20(x₂ − 4)²]/∂x₁ = ∂[20(x₂ − 4)²]/∂x₂·∂x₂ /∂x₁ = 40(x₂ − 4)∂x₂ /∂x₁.

Откуда ∂x₂/∂x₁ = −20(x₁ − 3,5)/40(x₂ − 4), если учесть (7.16), то окончательно получим:

(x₁ − 3,5)/2(x₂ − 4) = 1 или x₁ − 3,5 = 2(x₂ − 4).

Дополняя этим последним соотношением систему (7.15), окончательно получим:

откуда x₁^* = 2,5, x₂^* = 3,5 и f^* = 15, т.е. x^* = (2,5; 3,5).

Очевидно, что в данном случае оптимальная точка вовсе не будет крайней точкой − вершиной множества Х. Поэтому процедура направленного перебора вершин, как это было в линейном программировании, в этом случае неприменима. Более того, в подобных задачах оптимальная точка может вообще не принадлежать границе Х.

Для решения задач нелинейного программирования можно воспользоваться методом, как и в линейном программировании. Для этого возьмем произвольную допустимую точку и будем передвигаться по точкам многогранника Х с "худших" линий уровня на "лучшие" (т.е. в направлении градиента) в задаче максимизации и в противоположном направлении задачах минимизации до тех пор, пока такое движение оказывается возможным, т.е. не выходят за пределы допустимого многогранника. В этом случае передвижение пришлось бы осуществлять небольшими шажками, потому что градиент нелинейной функции меняется от точки к точке. Та точка, из которой никуда передвинуться не удается, не ухудшив значения функции, и являлась бы точкой локального экстремума. В нашем примере она оказалась и точкой глобального экстремума, и, следовательно, и оптимальной.

Методы, в которых используется этот механизм, называются градиентными методами.

Однако не всегда целевая функция имеет на многограннике единственную экстремальную точку. В тех случаях, когда это не так, возникает новая проблема – проблема выбора точки (точек) глобального экстремума среди точек локального экстремума. Задачи, в которых локальный и глобальный экстремумы не совпадают, называются многоэкстремальными. Для их решения градиентные методы неприменимы.