Практичне заняття №8.

Тема: Дослідження характеру точок на поверхні.

Мета: Ознайомитись з методом дослідження точок на поверхні. Навчитись використовувати його.

Хід заняття.

1. Задана поверхня

1. Знайдіть на початку координат рівняння індикатриси Дюпена.

2. Обчисліть на початку координат радіус кривини нормального перетину, дотична до якого складає кут з віссю .

2. Поверхня є частиною фігури, що утворена головними нормалями (бінормалями) просторових ліній. Знайдіть повну кривину поверхні

3. Знайдіть еліптичні, гіперболічні та параболічні точки на торі.

4. Дослідіть характер точок на поверхні, що одержується обертанням: синусоїди навколо осі Знайдіть на поверхні обертання точки округлення.

5. З’ясувати тип точок на гіперболічному параболоїді.

6. Покажіть, що всі точки поверхні параболічні.

7. Для того щоб точка поверхні була точкою округлення, необхідно та достатньо,щоб в цій точці виконувались умови: Доведіть.

Практичне заняття № 9

Тема: Знаходження ліній кривини.

Мета: Ознайомитись з формулами знаходження лінії кривини. В самостійній роботі показати своє вміння оперувати одержаними знаннями.

Хід заняття.

1. Знайдіть лінії кривини поверхні:

2. Знайдіть лінії кривини прямого гелікоїда.

3. Знайдіть лінії кривини еліптичного параболоїд.

4. Покажіть, що координатні лінії поверхні являються лініями кривини.

5. Самостійна робота.

Практичне заняття № 10.

Тема: Асимптотичні лінії

Мета: Ознайомитись з умовами існування асимптотичних ліній. Навчитись знаходити лінії спряжені з даними.

Хід заняття.

1. Складіть диференціальне рівняння сімейств ліній на поверхні, що утворюють спряжену сітку з сімейством координатних ліній

2. Лінії що лежать на гелікоїді утворюють сітку. Доведіть.

3. Знайдіть лінії, спряжені сімейству ліній на косому гелікоїді

4. Для того, щоб координатні ліній були асимптотичними лініями, необхідно та достатньо, щоб Доведіть.

5. Знайдіть асимптотичні лінії катеноїда

6. Знайдіть асимптотичні лінії прямого гелікоїда.

7. Знайдіть асимптотичні лінії однополосного гіперболоїда.

8. Поверхня називається мінімальною, якщо її середня кривина тотожньо рівна нулеві. Покажіть, що на мінімальній поверхні сітка асимптотичних ліній ортогональна, тобто в усіх точках лінії одного сімейства ортогональні лініям другого.

Практичне заняття № 11

Тема: Знаходження неявного рівняння лінійчатих поверхонь.

Мета: Ознайомитись з методом знаходження рівняння лінійчатих поверхонь.

Хід заняття.

1. Напишіть неявне рівняння циліндричної поверхні з направляючою лінією та прямолінійними утворюючими, паралельними вектору

2. Складіть рівняння дотичної площини та нормалі до прямого гелікоїду Дослідіть поведінку нормалі при зміщенні її вздовж утворюючої.

3. Нехай поверхня являється частиною фігури, утвореної дотичними до лінії Напишіть рівняння дотичної площини в довільній точці поверхні. Дослідіть її поведінку при зміщенні точки дотику вздовж прямолінійних утворюючих поверхонь.

4. Доведіть, що лінійчата поверхня буде поверхнею, що розгортається тоді та тільки тоді, коли

5. Нехай S – поверхня, яка є частиною фігури, що складається з дотичних до деякої неплоскої лінії (ребро звороту). Доведіть, що дотична площина в довільній точці поверхні S співпадає з стичною площиною ребра звороту у відповідній точці.

6. Знайдіть горлову лінію поверхні, яка утворена бінормалями просторових ліній.

7. Пряма переміщується паралельно площині , перетинаючи вісь та лінію Знайдіть асимптотичні лінії поверхні, що утворюється цією прямою.