Позиційні системи числення

Перевагою двійкової системи є:

• простота виконання арифметичних операцій;

• наявність надійних мікроелектронних схем з двома стійкими станами (тригерів), призначених для зберігання значень двійкового розряду – цифр 0 або 1.

Двійкові цифри називають також бітами. Назву БІТ у 1946 році запропонував видатний американський вчений статистик Джон Тюкі. Система числення повинна забезпечувати:

• можливість представлення будь-якого числа в заданому діапазоні;

• однозначність, стислість запису числа і простоту виконання арифметичних операцій;

• досягнення високої швидкодії машини в процесі оброблення інформації.

3. Правила перетворення десяткових чисел у будь-яку систему числення

Правило переводу: щоб перевести ціле число із однієї позиційної системи числення в другу, необхідно задане число послідовно ділити на основу нової системи числення, записаної в числах старої (заданої) системи числення до одержання частки рівної 0.

Число в новій системі числення записується із залишків від ділення починаючи із останнього.

Приклади переводу:

Переведемо число 25 з десяткової системи числення в двійкову.

Отже 25₁₀ = 11001₂.

Переведемо число 92 з десяткової системи числення в вісімкову.

Отже 92₁₀ = 134₈.

Переведемо число 168 з десяткової системи числення в шістнадцяткову.

Отже 168₁₀ = А8₁₆.

4. Особливості шістнадцяткової системи числення

Шістнадцяткова систе́ма чи́слення – це позиційна система числення, кожне число в якій записується за допомогою 16-ти символів. Цю систему часто називають також Hex (початкові літери англ. hexadecimal — шіснадцятковий). Для запису чисел в цій системі окрім 10 арабських цифр (від 0 до 9) використовують 6 літер латинської абетки: A, B, C, D, E, F.

Запис числа формується за загальним принципом: на n-й позиції (справа наліво від 0) стоїть цифра, що відповідає кількості n-х степенів шістнадцяти у цьому числі. Наприклад, число записане в десятковій системі як 1000, в hex записується як 3E8, де:

3×16² + 14×16¹ + 8×16⁰ = 768 + 224 + 8 = 1000.

Шістнадцяткова система числення широко вживана в інформатиці, оскільки значення кожного байту можна записати у вигляді двох цифр шістнадцяткової системи. Таким чином значення послідовних байтів можна представити у вигляді списку двозначних чисел. В той же час запис 4 бітів можна представити однією шістнадцятковою цифрою.

В математиці числа в недесяткових системах позначаються нижнім індексом, що визначає основу позиції. Наприклад, 10₁₆ = 16₁₀.

5. Способи перетворення чисел у шістнадцяткову систему числення

Для переведення числа з однієї системи числення можна застосувати один з наступних способів:

• порозрядне переведення числа у десяткову систему числення, після чого провести переведення у потрібну сиситему числення; 

• якщо початкова та кінцева системи числення зв'язані між собою, а саме: (нехай початкова система числення – А, кінцева – В) В = A в степені m (або А = В в степені m), де m – натуральне число, тоді для переведення числа з однієї системи числення в іншу потрібно поділити число на частини і кожну частину перевести за допомогою таблиці відповідностей, яка повинна містини рівно MAX (А, В) елементів. Даний спосіб має перевагу при переведенні великих чисел, оскільки більшість сучасних мов програмування не підтримують "на пряму" роботу з "великими числами", і для операцій з ними необхідно використовувати спеціальні алгоритми для роботи з "великими числами", що значно збільшує асимптотику алгоритму.