Теорема (критерий оптимальности Канторовича): Если для некоторых допустимых решений и двойственных задач выполняется равенство

то векторы и являются оптимальными решениями соответствующих задач.

Экономическое содержание теоремы состоит в том, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными, если цена всей произведённой продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.

Теорема (малая теорема двойствнности): Для существования оптимального решения любой из пары двойственных задач, необходимо и достаточно существование допустимого решения для каждой из них.

1-я теорема двойственности: Если одна из задач двойственной пары имеет оптимальное решение, то и другая его имеет, причём экстремальные значения линейных форм равны: , если же линейная форма одной из задач не ограничена, то система условий другой задачи противоречива. (Теорема справедлива как для симметричной, так и для несимметричной пары двойственных задач.)

Важно, что при решении симплекс-методом одну из взаимодвойственных задач, автоматически получается решение другой:

Пусть дана пара двойственных задач в симметричной форме:

Для приведения их к каноническому виду введём дополнительные неотрицательные переменные в ЗЛП и дополнительные неотрицательные неизвестные в ДЗЛП. Тогда:

ЗЛП:	ДЗЛП:

Между неизвестными ЗЛП и неизвестными ДЗЛП устанавливается соответствие:

		…		…				…		…
		…		…				…		…

Базисным неизвестным одной задачи соответствуют неизвестные другой (рассматриваются и такие базисы, где условия неотрицательности свободных членов уравнений не восполняются). Причём, если - базисная, а - свободная неизвестная ЗЛП, а и - соответственно свободная и базисная переменные ДЗЛП, то коэффициент с которым входит в уравнение, содержащее только знаком отличается от коэффициента с которым входит в уравнение, содержащее (если для каждой из задач двойственной пары составить первые симплексные таблицы, то элементы столбца свободных членов одной таблицы только знаком будут отличаться от соответствующих элементов индексной строки другой).

Это значит, что если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения минимальных оценок ресурсов. Причём план производства и вектор оценок ресурсов оптимальны тогда и только тогда, когда цена произведённой продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают. Оценки являются инструментом балансирования затрат и ресурсов. (Двойственной оценки гарантирующей рентабельность оптимального плана, т.е. равенство общей оценки продукции и ресурсов, и обуславливают избыточность всякого другого плана, отличного от оптимального; двойственные оценки позволяют сопоставить и сбалансировать затраты и результаты системы).

II теорема (о дополняющей нежесткости): Для того, чтобы планы и пары двойственных задач являлись их оптимальными решениями необходимо и достаточно выполнение условий:

Основное содержание теоремы: если неравенство системы ограничений одной из задач не обращается в точное равенство оптимальным решением этой задачи, то соответствующая компонента оптимального решения одной из взаимодвойственных задач должно равняться 0; если какая-либо компонента оптимального решения одной из задач положительна, то соответствующее ограничение, то соответствующее ограничение в двойственной задаче её оптимальным решением должно обращаться в точное равенство.

Если , то , а если , то . Аналогично: если , то , а если , то .

Экономически это означает, что: если по некоторому оптимальному плану производства расход i-го ресурса строго меньше его запаса , то в оптимальном плане, соответствующая двойственная оценка единицы этого ресурса равна 0; если же в некотором оптимальном плане оценок, оценки i-го ресурса строго меньше 0, то в оптимальном плане производства расход этого ресурса равен запасу.

Двойственные оценки служат мерой дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс, полностью используемый по оптимальному плану производства, имеет положительную оценку, а ресурс, используемый не полностью, имеет нулевую оценку.

III теорема двойственности: Двойственные оценки показывают приращение целевой функции, вызванные малым изменением свободного члена соответствующего ограничения, т.е. . (теорема справедлива не только для ЗЛП, но и в случае, когда P(x) и ограничения – нелинейны.)

Величина двойственной оценки ресурса показывает, насколько выросло бы экстремальное значение целевой функции, если бы объём денежного ресурса увеличился на единицу.

Пример 21:

Продукция цеха может производится тремя способами (I, II, III технологии). Объёмы ресурсов и их расход в единицу времени для каждой технологии, а также производительность (в денежных единицах за единицу времени работы по данной технологии) представлены в таблице:

Ресурсы	Технологические способы			Объём ресурса
	I	II	III
Рабочая сила (чел/час) Сырьё (тонны) Электроэнергия (кВт/ час)	15 2 35	20 3 60	25 2,5 60	1200 150 3000
Производительность	300	250	450	-

Определить оптимальный план использования каждого технологического способа.

Пусть - время использования каждого способа. Записать решение ДЗ и проверить условия «дополняющей нежёсткости».

ПЗЛП	ДЗЛП

Результат решения задачи симплекс-методом представлен в таблице:

Базис			300		250		450		0		0		0		В
			X1		X2		X3		X4		X5		X6
X3 X1 X6	450 300 0		0 1 0		-0,4 2 14		1 0 0		0,16 -0,2 -2,6		-1,2 2 2		0 0 1		12 60 180
		0		170		0		12		60		0		23400

Согласно полученному оптимальному плану применения технологии:

технологию I целесообразно применять 60 час., III –12 час.; применение II-й технологии нецелесообразно. При этом продукции будет выпущено на 23400 денежных единицы.

В таблице находится и решение ДЗЛП:

Согласно I-й теореме двойственности:

т.к. , то рабочая сила и сырьё используются полностью (первый и второй ресурс и соответствующие - «дефицитные»); Третий ресурс, электроэнергия (соответствующий ) избыточна , его двойственная оценка .

Если при j-м технологическом способе производства суммарная оценка ресурсов, идущих на выпуск единицы продукции выше дохода Cj, то данный способ не должен внедряться (а ). Если j-я технология используется в оптимальном плане, то суммарная оценка ресурсов, необходимых для производства единицы продукции равна доходу Cj.

«Условия дополняющей нежёсткости» для ЗЛП:

«Условия дополняющей нежёсткости» для ДЗЛП:

Итак, в ходе решения ЗЛП симплекс-методом получено и решение ДЗЛП:

Первый и второй ресурсы «дефицитные» и их оценки положительны: . Это означает (согласно III-й теоремы двойственности), что приращение I ресурса (рабочей силы) на единицу ведёт к увеличению целевой функции на 12, а II-го (сырья) – на 60; Третий ресурс «избыточен»: (не использовано кВт/час электроэнергии) и поэтому дальнейшее его увеличение не изменяет значение целевой функции.

Оптимальный план ЗЛП соответствуют двойственные оценки . Очевидно, что вторая, заведомо убыточная технология, не должна внедряться. Если её использовать, то в течение каждого часа работы цеха достигнутый уровень выпуска будет снижаться на единиц.

(Значение показывает, что технологии I и III неубыточные)

Из 2-го ограничения ДЗЛП, следует:

Стоимость ресурсов, используемых в единицу времени при работе по II-й технологическому способу составят:

,

а в единицу времени этот способ может дать на 250 денежных единиц. Поэтому убыток в единицу времени при работе этим способом составит денежных единиц. Т.е. двойственные оценки действительно являются «скрытыми», «теневыми» (маргинальными) оценками ресурсов.

Пример 22:

+ +

Рисунок 9. Графическое решение исходной ЗЛП

Решение исходной ЗЛП симплекс-методом

Базис						max
		8	5	0	0	В
	0	1	1	1	0	200	200
	0	2	1	6	1	360	1 80
		- 8	-5	0	0	0	1440
	0	0	1 /2	1	-1/2	20	4 0
	8	8	1/2	0	1/2	180	360
		0	- 1	0	4	1440	40
	5	0	1	2	-1	40	план оптимален
	8	1	0	-1	1	160
		0	0	2	3	1480

+ +

Рисунок 10. Графическое решение ДЗЛП

Решение двойственной ЗЛП двойственным симплекс методом

Базис	Сб	-200	-360	0	0
		А1	А2	А3	А4	В
А3	0	-1	-2	1	0	-8
А4	0	-1	-1	0	1	-5
		200	300	0	0	0
А2	-360	½	1	-1/2	0	4
А4	0	-1/2	0	-1/2	1	-1
	dj	20	0	180	0	-1440
А2	-360	0	1	-1	1	3
А1	-200	1	0	1	-2	2
		0	0	160	40	-1486

Решение двойственной ЗЛП М- методом

f”(y)=200y1-360y2 – Му5 – Му6-> max

y1+2y2-y3+y5=8

y1+y2-y4+y6=5

y1,6>=0

		-200	-360	0	0	-M	-2M
Базис	Cб	A1	A2	A3	A4	A5	A6	B	O
А5	-M	1	2	-1	0	1	0	8	4
А6	-M	1	1	0	-1	0	1	5	5
		-200	-360	M	M	0	0	-13M
		-2M	-2M
A2	-360	1/2	1	-1/2	0		0	4	8
A6	-M	1/2	0	1/2	-1		1	1	2
	dj	20	0	720	M		0	-1440
		-M/2		M/2				-M
A2	-360	0	1	-1	1			3
A1	-200	1	0	1	-2			2
		0	0	160	40	-	-	-1480