П.8. Двойственная злп

Двойственная задача линейного программирования – это вспомогательная ЗЛП, формулируемая с помощью специальных правил из условий исходной, прямой задачи. Понятие двойственности исключительно важно в теоретическом отношении, но интересно и для практики, так как используется для анализа модели на чувствительность.

Пример 15 (формулировка двойственной ЗЛП):

На кондитерской фабрике весь ассортимент выпускаемой карамели разделен на три однородные группы , , . Расход основного сырья и его запасы указаны в таблице 1:

Виды сырья	Расход сырья на 1 т				Запас сырья
			.
Сахарный песок (I)	0,7	0,7	0,7	700
Патока (II)	0,3	0,3	0,2	300
Фруктовое пюре (III)	0	0,2	0,3	150
Прибыль	100	110	120	-

Таблица 1.

Другие виды сырья, используемые в небольших количествах не учитываются. В качестве критерия оптимальности плана принимается максимум прибыли.

Пусть (х₁, х₂, х₃) – план выпуска карамели групп , , . F(х) – суммарная прибыль. Математическая модель прямой задачи (1):

max F(х)=100 х₁+110 х₂+120 х₃

(1)

Предположим, что принятие решения о продаже сырья потребовало установить цены на основные его виды. Пусть (у₁, у₂, у₃) – цены на сахарный песок, патоку и фруктовое пюре.

Цены устанавливаются исходя из требований:

- общую стоимость сырью покупающая организация стремится минимизировать;

- предприятие согласно продать сырье только по таким ценам, по которым оно получит выручку, не меньше той суммы, которую оно могло бы получить, используя его в собственном производстве.

Эти требования можно сформулировать в виде задачи (2):

(2)

Задачи (1) и (2) называются парой взаимодвойственных ЗЛП. Они заданы в симметричной форме, поэтому являются симметричными двойственными задачами. Переменные у₁, у₂, у₃ - это двойственные, объективно обусловленные оценки. Пара взаимно двойственных задач может быть экономически интерпретирована так:

1. Сколько и какой продукции ( ) надо произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции ( ) и объемах имеющихся ресурсов ( ) и нормах расхода максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении?

2. Какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов ( ), чтобы при заданных , и минимизировать общую оценку затрат на все ресурсы.

Симметричные двойственные задачи

(I) (II)

Рисунок 8. Схема построения взаимно-двойственных задач.

Правила построения дз

1. Каждому i-му ограничению исходной задачи соответствует переменная у_i ДЗ и наоборот – каждому j-му ограничению ДЗ соответствует переменная х_j ПЗ;

2. Матрицы А ограничений ПЗДП и А` (ДЗЛП) взаимно транспонированные, следовательно: строка коэффициентов а_ij в j – м ограничении ДЗЛП есть столбец коэффициентов при х_j в ограничениях ПЗЛП, и наоборот;

3. Свободные члены ограничений одной из задач являются коэффициентами при соответствующих переменных в целевой функции другой задачи. При этом максимизация меняется на минимизацию и наоборот;

4. В исходной задаче ограничение неравенства следует записывать со знаком ≤ при максимизации, и со знаком ≥ при минимизации;

5. каждому i - му ограничению - неравенству исходной задачи соответствует в ДЗ условие не отрицательности (у_i ≥ 0), а равенству – переменная у_i без ограничений на знак (произвольная, свободная). Наоборот, неотрицательной переменной х_j ≥ 0 соответствует в ДЗ j –ое ограничение, а произвольной переменной – равенство.

6. Соотношение двойственности взаимное, то есть задача, двойственная по отношению к двойственной, совпадает с исходной.

ЗЛП (общего вида)	Двойственная ЗЛП

Двойственная задача

исходная ЗПЛ

двойственные переменные

двойственная ЗЛП

A

max

…

≤

…

=

…

… …

…

…

…

…

≤

min

=

…

…

…

исходные переменные

3	4	-5	A
2	-3	7	2 B
1	-1	4	3
-3	4	-1	-3
2	1	-3	-1

П

С

ример 16:

исходная ЗЛП

,

двойственная ЗЛП