5.1. Чисельні методи вирішення задачі Коші

При використанні чисельних методів рішення ЗДР визначається не сама функція y(х) (первісна) в аналітичному виді, а приблизно обчислюються її окремі значення ( ) в заданих точках на [х₀, х_к].

В основу чисельних методів покладена така процедура:

1.Задаються початкові умови х₀; y₀ і інтервал змінення аргументу х: [х₀, х_к].

2. Точки, у яких обчислюються значення , задаються у такий спосіб: інтервал розбивається на кінцеве число відрізків рівної довжини. Значення і є заданими точками. Відстань між сусідніми точками h (довжина відрізку) називається кроком інтегрування (рисунок 2).

3. Значення у точках обчислюються за допомогою формули розкладання функції в ряд Тейлора:

(5.10)

де у_і, y_і', y_і", … – значення y і її похідних в і -й точці,

у_і+1 - значення в наступній, (і+1)-й точці. Значення у кожній наступній точці обчислюється виходячи зі значення і її похідних у попередній точці за допомогою рекурентних співвідношень.

^{Рисунок 5.2. Розбивка інтервалу інтегрування на відрізки}

Існує безліч методів обчислення . Вони відрізняються друг від друга способом обчислення збільшення . Будемо розглядати методи, які передбачають обчислення і+1-го значення по i попереднім (явна різницева схема). Для обчислення використовуватимемо лише одне знайдене на попередньому кроці значення (однокрокові методи).

5.2 Метод Ейлера

У формулі розкладання функції в ряд Тейлора всі члени ряду, які містять похідні другого порядку й вище, відкидаються через їхню малість (за рахунок цього обчислення є наближеним) і формула приймає вид:

y_i+1 = y_і + h·y'_і або у_і+1 = y_і + h·f(x_і, y_і) _(5.11)

Для системи 2-х рівнянь формула (11) буде мати вигляд:

у_і+1 = y_і + h·f₁(x_і, y_і, z_i) _(5.12)

z_і+1 = z_і + h·f₂(x_і, y_і,z_i)

За рахунок спрощення формули розкладання в ряд Тейлора шукана функція на кожному відрізку інтервалу інтегрування заміняється рівнянням прямої лінії, дотичної до кривій на початку відрізка, тобто застосовується кусочно-лінійна апроксимація. Погрішність методу має порядок h². Для підвищення точності потрібно зменшити h, але при цьому збільшується обсяг обчислень.

5.3 Метод Эйлера із проміжним виведенням результатів

У більшості інженерних завдань здійснюється обчислення функції з малим кроком, а виведення значень із більшим кроком, зручним для побудови графіка цієї функції.

У таких випадках можна ввести параметр (назвемо його, наприклад, m) та використати його для здійснення виведення кожного m-го обчисленого значення (рис. 5.4). Алгоритм реалізації методу Эйлера для ЗДР наведений на рис.5.5, методу Эйлера із проміжним виведенням результатів для ЗДР - на рис.5.6, методу Эйлера для системи ЗДР - на рис. 5.7.

^{Рисунок 5.4. Ілюстрація методу Ейлера для ЗДР із проміжним виведенням результатів}