2.3. Квадратичная интерполяция

Пусть снова дана функция f(x), заданная таблично. Считая, что на промежутке (x_k, x_k+2) данную функцию с достаточной степенью точности можно заменить квадратичной функцией, то есть часть графика функции можно заменить параболой (см. рис. 3), необходимо найти значение функции f(x) в некоторой точке x, принадлежащей интервалу (x_k, x_k+2).

Рис. 3

Будем искать квадратичную функцию в следующем виде: .

Исходя из условия совпадения значений искомой квадратичной функции с табличными значениями функции в трех заданных точках, составим следующую систему уравнений:

.

Это система трех линейных уравнений с тремя неизвестными a, b и с. Ее определитель не равен 0 (если только точки не лежат на одной прямой). Решая составленную систему уравнений матричным способом, получим следующую зависимость для коэффициентов а, b и с:

.

Таким образом значение функции f(х) в точке х можно приближенно считать равным

.

Естественно поставить вопрос о погрешности полученной формулы. Рассмотрим разность между точным значением функции f(х) и ее приближенным значением. Обозначим эту разность через j(х):

j(х)= f(х)-ax²-bx-c.

Мы подошли к задаче об оценке значений функции j(х) для х, пробегающих промежуток (х_к, х_к+2). В рассматриваемом случае нам придется предполагать, что третья производная функции f(х) на рассматриваемом промежутке непрерывна и удовлетворяет неравенству [27]:

| f(x)| £ M₃.

Тогда для j(х) справедлива следующая оценка:

.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Задание: Используя линейную интерполяцию, вычислить значения функции у(х), заданной таблично, при заданном значении аргумента.

Образец выполнения задания

Зададим функцию таблично

n := 11 число значений аргумента

a := 2 начальное значение аргумента

h := 0.7 шаг изменения аргумента

i := 0.. n

x_i := a + i×h значения аргумента

y_i := ln(x_i) + rnd(2) значения функции

таблицы значений х и у

xx := 6.35 данное значение аргумента

ix := 6 номер табличного значения аргумента, ближайшего к данному

Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через 2 точки, ближайшие к хх.

j := ix - 1.. ix + 1

в уравнение искомой прямой подставим значение хх аргумента

yx := y_ix + k×(xx - x_ix)

yx = 2.812

Проиллюстрируем решение графически:

В пакете MathCad имеются встроенные функции, которые позволяют быстрее решить задачу линейной интерполяции. Это выполняется функцией linterp(vx,vy,x), которая использует векторы данных vx и vy, чтобы вычислить линейно интерполируемое значение у, соответствующее третьему аргументу х. Аргументы vx и vy должны быть одинаковой длины. Вектор vx должен содержать вещественные значения, расположенные в порядке возрастания. На рисунке 4 решена предложенная задача линейной интерполяции

.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Задание: Используя квадратичную интерполяцию, вычислить значения функции у(х), заданной таблично, при заданном значении аргумента.