Основы алгебры логики и выполнения логических операций
Математическим аппаратом анализа и синтеза цифровых устройств служит алгебра логики, в которой любая переменная может иметь состояние "0" - логический ноль или "1" - логическая единица.
В случае с одной переменной в алгебре логики действуют следующие правила, характеризующие операции:
1. Логическое сложение (дизъюнкция)
Х
+ 0 = Х, Х + 1 = 1, Х + Х = Х, Х +
= 1
2. Логическое умножение (конъюнкция)
Х · 0 = 0 , Х · 1 = Х, Х · = 0
В случае двух или более переменных при анализе и преобразовании логических выражений используются следующие основные законы и тождества:
1. Переместительный закон.
Х1 + Х2 = Х2 + Х1 ;
Х1 · Х2 = Х2 · Х1.
2. Сочетательный закон.
(Х1 + Х2 ) + Х3 = Х1 + ( Х2 +Х3);
(Х1 · Х2 ) · Х3 = Х1 · ( Х2 · Х3).
3. Распределительный закон.
Х3 (Х1 + Х2 ) = Х3 · Х1 + Х3 · Х2 ;
Х1 + Х2 · Х3 = (Х1 + Х2) (Х1 + Х3) .
4. Закон поглощения
Х1 (Х1 + Х2) = Х1;
Х1(Х1 + Х2) (Х1 + Х3) + ... + (Х1 + Хn) = X1.
5. Закон склеивания
(Х1
+ Х2)
(Х1
+
2)
= Х1;
Х1Х2 + Х1Х2 = Х1.
6. Закон де Моргана
=
1
+
2
;
;
Х1
+ Х2=
; Х1
Х2=
Используя законы и тождества алгебры логики, можно сложное выражение привести к нормальной форме, содержащей сумму произведения или произведение сумм логических переменных. Логическое устройство, выходные функции которого однозначно определяются входными логическими функциями, в тот же момент времени называется комбинационным. Создание логических комбинационных устройств осуществляется по схеме:
- по условию задачи составляется таблица истинности;
- по таблице истинности составляется логическое уравнение;
- производится минимизация функции;
- составляется логическая схема.
Пример. Дана функция y= (x1, x2) заданой таблично (табл.1.)
-
Номер набора
Х1 Х2 У
Минтермы
Макстермы
0
0 0 0
Х
1
*Х2Х1 + Х2
1
0 1 1
Х1 *Х2
Х1 + Х2
2
1 0 1
Х1 *Х2
Х1 + Х2
3
1 1 0
Х 1 *Х2
Х 1 + Х2
Логическая функция, заданная таблично или аналитически, может быть изображена на карте КАРНО, пердставляющей собой прямоугольник, разбитый на 2m клеток, где m - число аргументов функции. Если функция записана в СДНФ, то в клетки карты Карно, которые соответствуют минтермам, записываю единицы, а в остальные клетки записывают нули. При записи в СКНФ в клетки карты Карно, которые соответствуют макстермам, вписываются нули, в остальные клетки записывают единицы. На рис.2 показано такое отображение карт Карно.
Х2 Х2 Х2 Х2
-
0
1
Х1 Х1
0
1
1
0
Х1 Х1
1
0
Минимизация логических функций. Упрощение логических функций или их минимизация – это нахождение из всех возможных форм представления ЛФ такой формы, при которой обеспечивается минимум целевой функции (аппаратных затрат, быстродействия, экономичности и т.д.).На практике для этого используютя либо аналитический метод, либо карты Карно.