Основные правила алгебры логики

Ниже приводятся основные правила алгебры логики, называемой также булевой алгеброй.

Правила сложения:

Первое правило сложения

A+1=1, где А может равняться как 0, так и 1. В верности этого правила можно убедиться, обратившись к таблице истинности элемента ИЛИ. Строчки 2 и 4 подтверждают это правило.

Второе правило сложения

A+0=A, где А может равняться как 0, так и 1. Убеждаемся в верности этого правила, используя строчки 1 и 3 таблицы истинности элемента ИЛИ.

Третье правило сложения

A+A=A.

Убеждаемся в верности этого правила, используя строчки 1 и 4 таблицы истинности элемента ИЛИ.

Четвертое правило сложения

A+ =1.

Убеждаемся в его правильности, используя строчки 2 и 3 таблицы истинности элемента ИЛИ.

Правила умножения:

A*1=A;

A*0=0;

A*A=A;

A* =0.

В верности этих правил можно убедиться по таблицы истинности элемента И.

Из правил сложения и умножения вытекает первое соотношение

A+AВ=A, где A и В могут принимать любые значения, т. е. как 0, так и 1. Левую часть равенства можно представить в виде A(1+В). Согласно первому правилу сложения (1+В)=1.Следовательно соотношение является правильным.

Второе соотношение

A(A+В)=A.

Это произведение равно AA+AВ=A+AВ, что совпадает с предыдущим соотношением.

Третье соотношение

(A+В)(A+С)=A+ВС.

В нем нет членов AВ и AС, которые ничего не добавляют к А.

Соотношения де Моргана. Соотношениями де Моргана называются следующие тождества:

(1)

(2)

В справедливости соотношений де Моргана можно убедиться с помощью таблиц истинности. Например, подставив в таблицу истинности элемента ИЛИ и вместо A и B, получим столбец для Y такой же, как в таблицы истинности элемента И-НЕ. Из соотношения (1) следует, что логический элемент И-НЕ можно заменить логическим элементом ИЛИ, на входе которого величины A, B, ... заменены на , , ... Очевидно, возможна я обратная замена элемента ИЛИ с инвертированными переменными на входе на элемент И-НЕ. Из соотношения (2) следует, что логический элемент ИЛИ-НЕ можно заменить элементом И с инвертированными входными величинами. Из соотношений де Моргана вытекает, что все три логические операции, которые могут потребоваться для образования сложной логической функции, можно выполнить, не пользуясь всеми тремя логическими элементами. Достаточно иметь только элементы одного типа ИЛИ-НЕ или только элементы И-НЕ, так как элемент НЕ легко получается как из элемента ИЛИ-НЕ, так и из элемента И-НЕ параллельным соединением всех входов. Однако схемы сложных устройств получаются более простыми, когда используются логические элементы разных типов.

Транзисторно-транзисторная логика (ттл)

Наиболее широко применяемым логическим элементом для логики данного типа является логический элемент И-НЕ, принципиальная схема которого показана на рис. 3.

Транзистор T1 является многоэмиттерным. На входы элемента A, В и С подаются положительные напряжения, оответствую-щие уровням 0 и 1. Будем считать уровень нуля равным +0,2 В, что соответствует примерно напряжению коллектор—эмиттер для транзистора, работающего в режиме насыщения. Сделаем пред- Рис.3.Упрощенная схема

положение, что хотя бы на ТТЛ-элемента 3И-НЕ

один из эмиттеров A, В

или С подается входное напряжение U_вх:=+0,2 В. Так как база транзистора соединена через резистор R_бс источником положительного напряжения, транзистор T1 войдет в режим насыще­ния. В самом деле, ток базы I_Б1=(U_п—U_вэ1—U_вх)/R_б . Считая U_вх=+0,2 В; U_БЭ1 =0,8 В, получаем I_Б1=i мА. Такой ток базы вызывает насыщение транзистора, если I_к1 не больше, чем h₂₁I_Б . В рассматриваемом случае I_к1=I_кэо близок к нулю, так как напряжение база—эмиттер транзистора VT2 недостаточно для его отпирания. Действительно, напряжение U_БЭ2=U_ВХ+U_КЭ1=0,2+0,2=0,4 В. Следовательно, при сделанном предположении выходное напряжение элемента на рис. 3, а должно равняться напряжению источника питания, т. е. на выходе имеется логическая 1.

Теперь предположим, что на все входы подано напряжение, соответствующее логической 1. Пусть это напряжение равно +5 В. В этом случае коллекторный переход VT1 смещен в прямом направлении, а эмиттерный— в обратном. Это соответствует инверсному режиму работы транзистора T1, когда коллектор и эмиттер меняются местами.

Транзистор T1 сконструирован так, что при инверсном режиме работы коэффициент передачи h_21Э<1. Поэтому “коллекторный” ток, являющийся при инверсной работе эмиттерным током транзистора, очень мал. Следовательно, входной ток схемы мал и она мало нагружает предыдущий каскад.

Итак, при подаче на все три входа напряжения, соответствующего логической 1, через резистор R_б и эмиттерный переход T2 течет ток, при котором T2 находится в режиме насыщения. При этом выходное напряжение схемы равно напряжению коллектор— эмиттер транзистора T2 приблизительно равно +0,2 В, что со­ответствует логическому 0.