Безусловная оптимизация.
0 = 100; x1* = 50; 1 = 0; x2* = 50; 2 = 0; x3* = 100; 3 = 0; x4* = 100; 4 = 0.
Таким образом, пополнение запасов на первом и втором шагах по 50 единиц объема, на 3 и 4 – по 100 единиц объема.
П
с, xk,
yk
150
100
50
Шаги
0
1 шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
Рассчитаем:
Затраты на хранение материалов всего и по периодам:
Затраты на приобретение материалов (покупка и транспортировка)
Всего затрат (в
том числе и по периодам)
Задача №2. «Динамическая модель задачи складирования»
Решить задачу складирования при следующих данных – n = 5, c = 50, 0 = 0
Вариант выбирается в соответствии с последними двумя цифрами номера зачетной книжки, если цифра больше 50 от нее отнимается число 50 и это будет номер варианта (например, 67 – 50 = 17, т.е. берется вариант 17).
Вариант |
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
6 |
7 |
9 |
10 |
11 |
|
k |
7 |
7 |
11 |
12 |
14 |
|
2 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
|
k |
7 |
8 |
9 |
13 |
15 |
|
3 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
2 |
4 |
6 |
5 |
8 |
|
k |
4 |
6 |
7 |
5 |
9 |
|
4 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
10 |
13 |
15 |
18 |
19 |
|
k |
11 |
13 |
16 |
19 |
21 |
|
5 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
|
k |
9 |
12 |
14 |
14 |
17 |
|
6 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
6 |
9 |
12 |
11 |
14 |
|
k |
6 |
10 |
11 |
12 |
15 |
|
7 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
4 |
6 |
7 |
9 |
12 |
|
k |
5 |
8 |
7 |
11 |
14 |
|
8
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
11 |
14 |
12 |
15 |
17 |
|
k |
12 |
14 |
14 |
16 |
18 |
|
9 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
4 |
6 |
7 |
9 |
11 |
|
k |
5 |
8 |
9 |
10 |
12 |
|
10 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
11 |
13 |
15 |
12 |
17 |
|
k |
12 |
13 |
16 |
15 |
18 |
|
11 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
7 |
9 |
8 |
9 |
11 |
|
k |
7 |
10 |
11 |
12 |
14 |
|
12 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
9 |
11 |
10 |
12 |
14 |
|
k |
10 |
11 |
12 |
14 |
15 |
|
13 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
6 |
8 |
7 |
9 |
10 |
|
k |
7 |
9 |
7 |
10 |
11 |
|
14 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
11 |
13 |
12 |
14 |
15 |
|
k |
12 |
14 |
12 |
15 |
17 |
|
15 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
7 |
9 |
8 |
11 |
12 |
|
k |
8 |
10 |
9 |
11 |
12 |
|
16 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
5 |
6 |
8 |
7 |
10 |
|
k |
6 |
7 |
8 |
9 |
11 |
|
17 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
9 |
11 |
10 |
13 |
15 |
|
k |
10 |
12 |
13 |
14 |
18 |
|
18
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
9 |
11 |
12 |
14 |
17 |
|
k |
11 |
12 |
15 |
16 |
17 |
|
19
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
11 |
13 |
12 |
14 |
16 |
|
k |
12 |
14 |
12 |
15 |
18 |
|
20 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
10 |
9 |
12 |
13 |
14 |
|
k |
11 |
10 |
12 |
15 |
17 |
|
21 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
14 |
15 |
18 |
19 |
18 |
|
k |
15 |
17 |
18 |
20 |
21 |
|
22 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
12 |
11 |
13 |
15 |
17 |
|
k |
14 |
12 |
13 |
16 |
18 |
|
23 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
5 |
7 |
8 |
7 |
9 |
|
k |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
24 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
|
k |
9 |
11 |
12 |
14 |
18 |
|
25 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
8 |
10 |
9 |
13 |
12 |
|
k |
9 |
12 |
11 |
12 |
14 |
|
26 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
9 |
10 |
11 |
10 |
12 |
|
k |
11 |
12 |
11 |
13 |
15 |
|
27 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
4 |
6 |
8 |
7 |
10 |
|
k |
6 |
8 |
10 |
9 |
12 |
|
28
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
7 |
9 |
10 |
8 |
11 |
|
k |
8 |
9 |
12 |
10 |
14 |
|
29
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
k |
12 |
13 |
13 |
14 |
16 |
|
30 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
11 |
12 |
10 |
15 |
16 |
|
k |
12 |
13 |
11 |
15 |
17 |
|
31 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
6 |
9 |
8 |
10 |
11 |
|
k |
7 |
9 |
10 |
12 |
13 |
|
32
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
10 |
12 |
11 |
13 |
12 |
|
k |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
33 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
9 |
10 |
12 |
11 |
13 |
|
k |
10 |
12 |
13 |
11 |
15 |
|
34 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
3 |
5 |
6 |
4 |
7 |
|
k |
4 |
8 |
9 |
7 |
10 |
|
35 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
11 |
13 |
12 |
14 |
17 |
|
k |
12 |
13 |
14 |
16 |
19 |
|
36 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
11 |
13 |
15 |
12 |
17 |
|
k |
12 |
13 |
16 |
15 |
18 |
|
37 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
23 |
27 |
31 |
35 |
40 |
|
k |
29 |
31 |
42 |
44 |
48 |
|
38 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
14 |
18 |
21 |
23 |
25 |
|
k |
19 |
25 |
33 |
37 |
39 |
|
39
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
21 |
24 |
27 |
29 |
33 |
|
k |
25 |
33 |
27 |
35 |
42 |
|
40 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
6 |
9 |
12 |
15 |
19 |
|
k |
11 |
14 |
19 |
26 |
31 |
|
41 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
33 |
38 |
44 |
51 |
57 |
|
k |
38 |
39 |
48 |
55 |
67 |
|
42 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
55 |
66 |
67 |
73 |
80 |
|
k |
58 |
74 |
81 |
88 |
91 |
|
43 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
35 |
38 |
43 |
45 |
50 |
|
k |
41 |
48 |
52 |
59 |
66 |
|
44 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
13 |
22 |
26 |
29 |
33 |
|
k |
21 |
31 |
35 |
44 |
51 |
|
45 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
56 |
61 |
67 |
74 |
82 |
|
k |
65 |
61 |
78 |
85 |
93 |
|
46
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
78 |
85 |
89 |
95 |
101 |
|
k |
85 |
95 |
107 |
114 |
121 |
|
47 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
34 |
39 |
47 |
49 |
54 |
|
k |
45 |
53 |
59 |
49 |
68 |
|
48 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
44 |
56 |
59 |
63 |
71 |
|
k |
44 |
59 |
66 |
73 |
82 |
|
49
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
54 |
59 |
66 |
77 |
84 |
|
k |
62 |
69 |
78 |
85 |
97 |
|
50 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
27 |
29 |
37 |
49 |
59 |
|
k |
33 |
38 |
47 |
58 |
67 |
Пример решения задачи №2:
Динамическая модель задачи складирования
Постановка задачи: емкость склада ограничена некоторой величиной с. В каждом из n промежутков времени запасы могут пополняться с затратами n на единицу продукции и расходоваться с получением дохода n за единицу продукции, причем решение о пополнении или расходовании запасов принимается однократно в каждом промежутке времени. Определить оптимальную стратегию в управлении запасами из условия максимизации суммарной прибыли при заданном начальном уровне запасов.
Уточним постановку задачи. Возможны три варианта в очередности пополнения и расходования запасов в каждом из промежутков времени: 1 вариант – пополнение предшествует расходу; 2 вариант – расход предшествует пополнению и 3 вариант – очередность любая.
В 3 варианте выбор оптимальной стратегии означает не только определение размера пополнения и расхода, но и выбор оптимальной очередности в каждом из промежутков времени.
k = k-1 + x k – y k - уравнение состояния
Так как заданным является начальный уровень запасов на складе 0, процесс разворачивают от конца к началу, рекуррентные соотношения имеют вид:
(1)
(2)
Переменные xk и yk должны удовлетворять условиям неотрицательности:
xk 0 yk 0
Ограничения зависящие от варианта очередности:
1 вариант - k-1 + xk с , yk k-1 + xk
2 вариант - k-1 – yk + xk с , yk k-1
3 вариант - по обстановке 1 или 2.
Первое неравенство обусловлено емкостью склада, второе – условием, в соответствии с которым расходы не могут превышать наличные запасы. Расчеты (условная оптимизация) по рекуррентным соотношениям упрощается ввиду того, что максимизируется линейная функция, которая на каждом шаге может исследоваться лишь в угловых точках многоугольника ограничений.
Ограничения на управления представляют собой выпуклый четырехугольник и для условной оптимизации достаточно рассмотреть значения функции Z только в угловых точках.
1 вариант. k-1 + xk с , yk k-1 + xk
y
С
(с -
k-1;
с)
B
(0;
k-1)
D
(с -
k-1;
0)
A (0; 0)
x
2 вариант. k-1 – yk + xk с , yk k-1
y
С*
(с;
k-1)
B
(0;
k-1)
D
(с -
k-1;
0)
A (0; 0)
x
Если решение попадает в точку С – 1 вариант очередности, если в точку С* - 2 2 вариант очередности, если в точки A, B, D – 3 вариант очередности.
Начальное состояние 0 задано, условную оптимизацию разворачиваем от конца к началу
(В)
(С)
(3)
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)
Если использовать случай (3), то к рассматриваемым добавляется точка С*.
(5)
Решить задачу складирования при следующих данных – n = 5, c = 50, 0 = 0
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
7 |
9 |
10 |
9 |
8 |
k |
11 |
10 |
10 |
11 |
12 |
Так как 0 = 0, для решения задачи достаточно рассматривать значения функций лишь при k-1 = 0 или с