Составление сгруппированного ряда

Исследователям часто приходится работать с вариационными рядами, содержащими большое число вариант, что представляет известные трудности при вычислении средней арифметической. Для облегчения техники вычисления объединяют варианты в группы и составляют так называемые сгруппированные ряды. При проведении группировки вариант необходимо соблюдать следующие условия.

1. Каждая группа должна состоять из одинакового числа вариант.

2. Полученной группе должна соответствовать частота, равная сумме частот вариант, вошедших в эту группу.

3. Число вариант, входящих в группу не должно превышать 3-4.

4. Все варианты вариационного ряда должны входить в группировки.

Пример: результаты измерения веса у группы девочек 12 лет.

Вес в кг (V)	Число лиц (P)
27	1
28	1
29	2
30	5
31	8
32	10
33	13
34	15
35	14
36	10
37	7
38	4
39	2
40	1
41	1
	n = 94

С целью упрощения вариационного ряда произведем группировку вариант по три и получим сгруппированный ряд:

Вес в кг (V)	Число лиц (P)
27-29	4
30-32	23
33-35	42
36-38	21
39-41	4
	n = 94

Дальнейшее упрощение ряда заключается в определении для каждой группы вариант средней арифметической, которая получается путем деления пополам суммы крайних членов вариант. Полученной средней присваивается частота, которая присуща группе вариант, давших возможность получить эту среднюю. В конечном итоге упрощенный вариант имеет такой вид:

Вес в кг (V)	Число лиц (P)
28	4
31	23
34	42
37	21
40	4
	n = 94

Свойства средней арифметической

1. Каждая варианта отклоняется от средней в большую или меньшую сторону со знаком (+) или (–). Отклонение (d) определяется по формуле d = V – M.

2. Сумма отклонений равна 0.

3. Средняя арифметическая равна любой произвольно взятой варианте вариационного ряда плюс среднее отклонение этой варианты от всех вариант ряда. Среднее отклонение вариант условной средней имеет выражение

Σ V×P

n

и называется моментом первой степени.

Основываясь на этом свойстве, можно применить упрощенный способ вычисления средней арифметической (по способу моментов) пользуясь формулой:

М =	М1 +	Σ d×P
		n

где М - средняя арифметическая

М₁ - условная средняя арифметическая

d - отклонение условной средней от варианты

Р - частота

 - знак суммирования

Для вычисления средней арифметической по способу моментов одну из вариант принимают за условную среднюю арифметическую (М₁). Затем определяют отклонение (d) условной средней арифметической от вариант ряда (d = V - М₁), умножив отклонение на частоту данной варианты получаем произведение: d×P. Суммировав произведение для всех вариант вариационного ряда, получаем сумму произведений частот на отклонение, которое и подставляем в формулу.

Пример вычисления средней арифметической по способу моментов:

Возьмем ряд, который мы упростили. За условную среднюю примем варианту 34.

Вес в кг (V)	Число лиц (P)	d	d×P
28	4	- 6	- 24
31	23	- 3	- 69
34	42	0	0
37	21	3	63
40	4	6	24
	n = 94		d×P = - 6

М =	М1 +	Σ d×P	= 34 +	(- 6)	= 34 - 0,06 = 33,94
		n		94