2. Несобственные интегралы

2.1. Вычисление несобственных интегралов

Несобственными интегралами называются:

1. интегралы с бесконечными пределами;

2. интегралы от неограниченных в точке функций.

Несобственный интеграл от функции в пределах от а до + определяется равенством

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности - расходящимся.

Аналогично

и .

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка и непрерывна при и , то по определению полагают

.

Несобственный интеграл (где , ) называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.

Пример 24. Вычислить несобственный интеграл .

Имеем

,

т.е. предел не существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится.

Пример 25. Вычислить несобственный интеграл .

Подынтегральная функция – четная, поэтому

.

Тогда

.

Таким образом, , т.е. несобственный интеграл сходится.

Пример 26. Найти .

Подынтегральная функция в точке неограничена, а поэтому имеем

,

т.е. несобственный интеграл расходится.

Пример 27. Найти .

Имеем

,

т.е. несобственный интеграл сходится.

Примеры для самостоятельной работы

Вычислить несобственные интегралы:

53. . 54. . 55. .

56. . 57. . 58. .

2.2. Признаки сравнения несобственных интегралов

При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения:

1. если функции и определены для всех и интегрируемы на отрезке , где , и если для всех , то из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , причем ;

2. если при функция является бесконечно малой порядка по сравнению с , то интеграл сходится при и расходится при .

Если функция определена и непрерывна в промежутке и является бесконечно большой порядка р по сравнению с при , то интеграл сходится при и расходится при .

Пример 28. Исследовать сходимость интеграла .

Подынтегральная функция в промежутке интегрирования меньше, чем , а интеграл является сходящимся. Следовательно, данный интеграл тоже сходится.

Пример 29. Исследовать сходимость интеграла .

Подынтегральная функция в промежутке интегрирования положительна и при . Пользуясь теоремой об эквивалентных бесконечно малых, преобразуем числитель и знаменатель подынтегральной дроби; имеем , а при , откуда

,

т.е. является бесконечно большой порядка по сравнению с . Следовательно, по признаку второй заданный интеграл сходится.

Примеры для самостоятельной работы

Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов:

59. . 60. . 61. .

62. . 63. .

3. Приближенное вычисление определенных интегралов

Не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона – Лейбница затруднительно, и применяются различные методы их приближенного вычисления. Приведем далее несколько способов приближенного интегрирования, исходя из понятия определенного интеграла как предела суммы.

1. Формула прямоугольников. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f(x). Разделим этот отрезок точками a = x₀, x₁, x₂, …, x_n = b на n равных частей длины х: .

Обозначим далее через у₀, у₁, у₂, …, у_n-1, у_n значения функции f(x) в точках x_k = x₀ + kx (k = 0, 1, 2, …, n).

Составим суммы у₀х + у₁х + … + у_n-1х, у₁х + у₂х + … + у_nх.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a, b] и поэтому приближенно выражает интеграл:

или

;

предельная абсолютная погрешность

, где .

Э

y = f(x)

то и есть формулы прямоугольников. Из рис. 6 видно, что если f(x) – положительная и возрастающая функция, то первая формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из вписанных в прямоугольную трапецию прямоугольников, а вторая формула – площадь ступенчатой фигуры, состоящей из описанных около криволинейной трапеции прямоугольников.

y

y_n

y_n-1

y₂

y₀

y₁

0 a=x₀ x₁ x₂ x_n-1 x_n=b x

Рис. 6

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (т.е. чем меньше шаг деления ).

2. Формула трапеций. Естественно ожидать, что получится более точное значение определенного интеграла, если данную кривую y = f(x) заменить не ступенчатой линией, как это было в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис. 7). В этом случае для приближенного вычисления определенного интеграла получим формулу вида:

,

г

y = f(x)

y

де - предельная абсолютная погрешность (точное значение погрешности , где a < c < b). Это и есть формула трапеций. Отметим, что число, стоящее в правой части этой формулы, есть среднее арифметическое чисел, стоящих в правых частях формул прямоугольника.

y_n

y_n-1

y₂

y₀

y₁

0 a=x₀ x₁ x₂ x_n-1 x_n=b x

Рис. 7

y

3. Формула Симпсона (формула парабол). Разделим отрезок [a, b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x₀, x₁] и [х₁, х₂] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки , , и имеющей ось, параллельную оси Оу (рис. 8). Такую криволинейную трапецию называют параболической.

y = f(x)

M₀

M₁

M₂

0 a=x₀ x₁ x₂ x_2m-1 x_2m=b x

Рис. 8

В этом случае, для приближенного вычисления имеем формулу вида

,

где - предельная абсолютная погрешность (точное значение погрешности , где a < c < b). Это и есть формула Симпсона.

Если отыскание четвертой производной подынтегральной функции затруднительно, то для оценки погрешности вычисления интеграла по формуле Симпсона можно применять следующий прием.

Полагая n = 4m, вычисляют приближенное значение данного интеграла по формуле Симпсона для шага ; пусть найденное значение интеграла есть I₁; затем шаг удваивают и вычисление по формуле Симпсона проводят для шага ; пусть найденное значение интеграла есть I₂; погрешность второго вычисления приблизительно в 16 раз больше погрешности первого и обе они имеют одинаковый знак. Поэтому погрешность первого вычисления (при шаге ) определяется следующей формулой (учитывающей и знак погрешности):

.

Этот способ можно назвать оценкой погрешности формулы Симпсона по методу удвоения шага вычислений.

Пример 30. Вычислить по формуле прямоугольников , разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.

В данном случае ; при n = 10 имеем . Точками деления служат .

Найдем далее соответствующие значения подынтегральной функции: , , у₂ = 1,095, у₃ = 1,14, у₄ = 1,183, у₅ = 1,225, у₆ = 1,265, у₇ = 1,304, у₈ = 1,342, у₉ = 1,378, у₁₀ = 1,414.