4º. Егер үшін болса, онда, әрине, болады.

Бұдан мынадай қорытынды жасауға болады: Е оң сандар жиыны беріліп, 0 саны оның шектік түктесі болсын, яғни, әрбір ε оң саны үшін одан кіші болатын Е саны табылсын. Егер Е жиынынан алынған барлық сандары үшін шектің анықтамасындағы талаптардың орындалатыны дәлелденген болса, онда барлық оң ε үшін де дәлелденген болады. Көбінесе Е жиыны ретінде интервалы мен ε_n>0 (n=1,2,...), ε_n→0 (n→∞) шарттарын қанағаттандыратын {ε_n} тізбегінің мәндерінен құрылған жиын алынады (олардың әрқайсысы үшін 0 саны шектік нүкте болатыны айқын).

Сонымен, шектің анықтамасында «кез келген ε оң саны үшін...» деген сөйлемшенің орнына «кез келген εЕ үшін...» деген жеңілдетілген талапты анықтаманың мазмұнын өзгертпей-ақ қоюға болады. Басқа сөзбен айтқанда, шектің анықтамасындағы талапты барлық оң ε сандары үшін тексермей-ақ, шектік нүктесі 0 болатыны белгілі бір оң сандар жиынынан алынған әрбір ε саны үшін орындалатынын дәлелдесек болғаны.

Мысалы, (2) анықтамасында символының орнына ( (0,1)) немесе (ε=1\n (n=1,2,...)) символдарын жазсақ, шектің анықтамасының мазмұны өзгермейді.

5º. F функциясының а нүктесінде шегі бар болуы, бар болса оның мәні а -ның «қасындағы» f-тің құрлысына байланысты.

«Қасында» дегеннің дәл мағанасы ойылған маңай ұғымы арқылы беріледі. а-ның «қасы» жеке нүктелерден құрылған болса да, олардың әр қайсысында сәйкес функцияның шекке әсері жоқ.

Расында да, х≠α үшін δ(ε) санын |x-α| оң санынан кіші етіп алсақ, онда f(x) саны елеусіз қалады (шектің анықтамасында берілген ε>0 саны бойынша табылған δ(ε) санын одан талап етілетін шартты сақтап, қалуымызша азайтуға болады).

Сонымен, f функциясының а нүктесінде шегі бар болуы, бар болса онда жеке алынған x≠α нүктесінде қабылданған мәніне тәуелсіз болуы, сол жеке нүктелер мен оларға сәйкес функцияның мәнінің тұтастығына тәуелді.

6º. Шектің анықтамасындағы δ саны ε-ға ғана емес, а нүктесі мен f функциясына тәуелді.

Бірақ қай нүтеде қай функцияның шегі зерттеліп тұрғаны белгілі болып, жаңылысқа әкелмейтін жағдайда, ықшамдап жазу мақсатымен δ-нің тек қана ε-ға тәуелділігі көрсетіледі.

3. Бір жақты шектер. а нақты саны Х жиынының шектік нүктесі болсын.

шегінің анықтамасында хХ саны а нүктесінің қай жағында орналасқаны туралы ештеңе айтылған жоқ ; ол нүкте үшін x а және x> а теңсіздіктерінің әр қайсысы орындалуы мүмкін.

Мұндай шек жай немесе екі жақты деп аталады.

Егер шектің анықтамасына қосымша x> а немесе x а шартын енгізсек, онда сәйкес оң немесе сол жақты шектің анықтамасына келеміз.

Сонымен f функциясы Х жиынында анықталып, а нақты саны сол жиынның шектік нүктесі болсын. Егер белгілі бір b нақты саны мен кез келген ε оң саны үшін

xΧ¸ аxа+δ(ε) (18)

шарттарын қанағаттандыратын кез келген х саны үшін |f(x)­b|ε теңсіздігі орындалатын δ(ε)>0 саны табылса, онда х а -ға оң жағынан ұмытылғанда f(x) функциясының оң жақты нақты мәнді шегі бар және b санына тең дейді де,

немесе, қысқаша символдарымен белгілейді.

Мұнда x→а+0 символы x>а, x→а символының қысқаша жазылуы («х α­ға оң жағынан ұмытылуы») .

Функцияның сол жақты шегі де дәл осылай анықталады да (тек қана (18) орнына x, а­δ(ε)xа шарттарын жазу керек),

немесе, қысқаша, символдарымен белгіленеді.

Оң және сол жақты шектер бір жақты шектер деп аталады.

Егер барлық х үшін х≥а болса (мысалы, Х аралық болып, а оның сол жақты шеткі нүктесі болса: Х=[а,b), Х=(а,b),...т. б.), онда а нүктесінде алынған шек міндетті түрде оң жақты болады. Дәл солай, барлық х үшін x≤а болса (мысалы, Х аралық болып, а оның оң жақты шеткі нүктесі болса: Х=(c,а), =(c,а],...т. б.), онда а нүктесінде алынған шек міндетті түрде сол жақты болады.

Әрине, оң және сол жақты шектердің анықтамалары мазмұнды болу үшін сәйкес және жиындары бос жиын болмауы керек.

Бұны арнайы терминалогияны қолданып басқаша айтуға болады. және интервалдарын нүктесінің сәйкес оң және сол жақты ойылған -маңайы деп атап, сәйкес және символдарымен белгілейік. Х-нақты сандар жиыны мен а нақты саны берілсін. Егер әрбір саны үшін интервалында Х жиынының кемінде бір элементі бар болса, яғни  шарты орындалса, онда а нүктесін (нақты санын) Х жиынының оң жақты шектік нүктесі деп атайды.

Екі жақтық шектік нүкте жағдайындағыдай, бұл анықтаманы былай да айтуға болады:

Егер шарттарын қанағаттандыратын тізбегі бар болса, онда а нақты саны Х жиынының оң жақты шектік нүктесі деп аталады.

Осыған ұқсас а нақты саны Х жиынының сол жақты шектік нүктесі болуы былай анықталады:

Әрбір саны үшін  болады, немесе шарттарын қанағаттандыратын тізбегі табылады.

Мысалы, интервалы үшін және жиындарының кез келген нүктесі сәйкес оң және сол жақты шектік нүкте болады.

Енді біржақты шектердің анықтамалары мазмұнды болуы үшін қажетті шартты былай айтуға болады: а нүктесі Х жиынының сәйкес оң және сол жақты шектік нүктесі болуы қажет.

Енді біржақты шектердің анықтамаларын кванторлар тілінде берейік. а нүктесі Х жиынының оң жақты шектік нүктесі болсын. Онда

немесе қысқаша

Дәл осылай, а нүктесі Х жиынының сол жақты шектік нүктесі болса, онда

немесе қысқаша