4. Егер болса, онда әрбір нақты саны үшін

(11)

Д ә л е л д е у і. Алдымен болсын. Онда әрбір саны үшін

(12)

болады.

Расында да, болса, онда болғандықтан (бұл 11 (І тарау, § 4) – п. дәлелденген еді).

Егер болса, онда болады, демек, (12) бойынша

өйткені .

Сонымен, және үшін

(13)

Енді үшін (11) теңдігін дәлелдейік. оң саны берілсін.

(14)

болсын. Онда оң сан болады да, теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір саны үшін (13) бойынша

, (15)

яғни жағдайында (11) дәлелденді.

саны (14) түрінде таңдап алнғаны айқын.

Әрине, (15) амалдарының орындалуын қамтамасыз ету үшін .

Енді болсын. Онда болады, демек, (14) пен (15)-те а-ны -ға алмастырып, үшін болғанда

болатының көреміз, өйткені .

Сонымен, (11) теңдігі 0 <а <1 үшін де орындалады.

Егер а = 1 болса, онда барлық х сандары үшін а = 1, демек, (11) теңдігінің орындалуы айқын. (11) толық дәлелденді.

2. Шектің анықтамасының кейбір талқылаулары. Ойылған маңай. Шектік нүкте. 1⁰. теңсіздігі х ≠а теңсіздігіне пара-пар, яғни (1) шартын басқаша былай жазуға болады:

х ≠а , .

Бұдан а нүктесінде f функциясы анықталған ба, жоқ па, анықталса оның мәні неге тең болатыны, f функциясының а нүктесіндегі шегіне ешқандай әсер етпейтінін көреміз.

Айтқанымызды келесі екі мысалмен түсіндірейік.

1-мысал.

функциясы үшін , өйткені ε оң саны үшін δ(ε) = 1 болса, онда

Сонымен, бұл функцияның а нүктесіндегі мәнін қандай қылып таңдап алуымызға байланыссыз ( с – кез-келген нақты сан!) , f функциясының а нүктесіндегі шегі бар және 1 санына тең.

2-мысал. жиынында f функциясы тұрақты болып, мәндерінің бәрі де 1 санына тең болсын. Бұл жағдайда да (16) бойынша

Сонымен, бұл функция а нүктесінде анықталмаған болса да, оның сол нүктеде шегі бар болады.

2⁰. Енді (1) шартын қарастырайық. = .Бұл жиын а нүктесінің δ- маңайы болатын интервалынан а нүктесінің өзін алып тастағанда пайда болады да, а нүктесінің ойылған δ-маңайы деп аталып (өйткені, маңай а нүктесінде «ойылған»), символымен белгіленеді.

Мысалы, .

Ойылған маңай ұғымын қолданып, шектің анықтамасын былай жазуға болады:

немесе, қысқаша

Шектің бұл анықтамасын дәл айтқанда «маңайлар тіліндегі» анықтама деу керек еді, бірақ тарихи екі маңай ε және δ әріптері арқылы берілуі қалыптасып кеткендіктен, ол шектің «ε-δ» тіліндегі анықтамасы деп аталады. 3⁰. а нүктесі Х жиынында жатуы да, жатпауы да мүмкін (1-ді қараңыз). Бірақ а нүктесімен Х жиынының арасында тығыз байланыс бар екен. Х нақты сандар жиыны беріліп, сол жиында f функциясы анықталған болсын. Онда а нүктесінде шектің анықтамасы мазмұнды болуы үшін «f функциясының анықталу жиынында жататын және 0<|х-а|<δ(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х сандар жиыны» бос болмауы қажет. Бұл жағдайда а нақты саны (нүктесі) Х жиынының шектік нүктесі деп аталады.

Сонымен, егер әрбір δ оң саны үшін жиыны бос жиын болмаса, онда а нақты саны Х жиынының шектік нүктесі деп аталады. Мысалы, (a,b), [a,b], (a,b] және [a,b) аралықтарының әрқайсысы үшін [a,b] сегментінің әрбір нүктесі шектік нүкте болады.

Әрине, а нүктесі Х жиынының шектік нүктесі болмауы үшін белгілі бір δ оң саны үшін (a-δ,a) және (a,a+δ) интервалдарының әрқайсысында Х жиынының бірде-бір нүктесі болмауы керек. Мысалы, а=3 нүктесі [0,1] сегментінің шектік нүктесі емес, өйткені Ø.

Сонымен, Х жиынында анықталған f функциясының шегінің анықтамасы мазмұнды болуы үшін а нүктесі Х жиынының шектік нүктесі болуы қажет.

Соңында, шектік нүктенің басқа анықтамасын берейік.

Т е о р е м а. а нүктесі Х жиынының шектік нүктесі болуы үшін мүшелері Х жиынында жатып, а-ға тең болмай, а-ға ұмтылатын, яғни

шарттарын қанағаттандыратын тізбегі бар болуы қажетті және жеткілікті.

Д ә л е л д е у і. Ж е т к і л і к т і л і г і. Егер (17) шартары орындалса, онда нақты а саны Х жиынының шектік нүктесі болады. Расында да, тізбектің шегінің анықтамасы бойынша әрбір δ>0 саны үшін болғанда болатын оң бүтін саны табылады. Ал әрбір n үшін x ≠ a болғандықтан теңсіздігі де орындалады.

Сонымен, әрбір δ>0 саны үшін а нүктесінің ойылған δ-маңайында Х жиынының элементтері бар болады (дәл айтқанда, ,...сандары), яғни а нүктесі Х жиынының шектік нүктесі болуының анықтамасының талаптары толық қанағаттандырылды.

Қажеттілігі .Егер а нүктесі Х жиынының шектік нүктесі болса, онда әрбір n оң бүтін саны үшін шектік нүктенің анықтамасы бойынша шарттарын қанағаттандыратын х_n нақты саны бар болады.

Дәл осы сандардан құрылған х₁,х₂,..., х_n,... тізбегі үшін (17) шарттарының орындалуы айқын. Теорема дәлелденді.

Бұл теорема бойынша шектік нүктенің анықтамасын былай беруге болады:

Егер Х жиынынан бірде-бір мүшесі а-ға тең емес болып, а-ға ұмытылатын тізбек бөліп алуға болса, онда а нақты саны Х жиынының шектік нүктесі деп аталады.