Аталған амалдардың айқын түрде жазылуы формула деп аталады.

Кез келген формула функцияны анықтай бермейді. Мысалы, формуласы нақты функцияны анықтамайды,өйткені,бірде-бір хнақты саны үшін көрсетілген амалды нақты сандар жиынында орындауға болмайды. Ал комплекс сандар жиынында теріс саннан квадраттық түбірді алуға болса да, математикалық анализде, жоғарыда айтылғандай, тек қана мәні нақты сандар болатын функциялар қарастырылады.

Формула функцияны анықтау үшін, онда көрсетілген амалдарды кемінде бір х нақты сан үшін орындау мүмкін болып, сол есептеулерді жүргізгенде тек қана нақты сандар пайда болуы керек. Бұндай формуланың өзінде ол анықтап тұрған функциядағы ереже мен анықталу жиыны туралы толық мәлімет бар. Мысалы, функциясы теңдік таңбасының оң жағындағы өрнек бойынша анықталған. f ережесі сол формула бойынша былай айтылады: х саны үшін sin х санын санына қосып, нәтижесін х-1 санына бөлу керек.

f функциясының анықталу жиыны осы амалдарды орындау мүмкін болатын барлық х сандарынан тұрады : sinх барлық нақты сандар үшін анықталған, амалы тек қана болғанда мағыналы, санына тек қана болғанда бөлуге болады, сонымен f функциясының анықталу жиыны болады.

Дәл осылай, кез келген функцияны анықтайтын формула бойынша сол функцияның ережесі мен анықталу жиынын табуға болады.

Элементар функцияларды әдете келесі үш топқа бөледі.

1⁰. Рационал функциялар. нақты сандары берілсін. Әрбір х нақты санына а₀ + а₁х +... + а_nхⁿ санын сәйкес қоятын ережені (функцияны) көпмүшелік деп атайды.

а₀ ,а₁ ,..., а_n, b₀, b₁,..., b_m нақты сандары берілсін. Әрбір теңсіздігін қанағаттандыратын х нақты саны үшін санын сәйкес қоятын тәртіпті (функцияны) рационал бөлшек деп атайды. Әрине, көпмүшелік рационал бөлшектің ( болғандағы) дербес жағдайы болады.

Көпмүшеліктер мен рационал бөлшектер рационал функциялар деп аталады. «Рационал» деп аталуының себебі мынада әрбір рационал санды 1 санының өзіне-өзін ақырлы рет қосындыларының қатынасы ретінде қарастыруға болады, мысалы,

Дәл солай, рационал функцияны х санын өз-өзімен және нақты сандармен ақырлы рет көбейтінділерінің қосындыларының қатынасы ретінде қарастыруға болады.

2⁰. Алгебралық функциялар. Рационал функциялар мен көрсеткіші рационал болатын дәрежелік функцияларға төрт арифметикалық және күрделі функция құру амалдарын ақырлы рет қолданудың нәтижесі болатын функцияны алгбралық функция деп атайды.

Мысалы, алгебралық функция.

3⁰. Трансцеденттік функция. Алгебралық емес элементар функция трансцеденттік элементар функция деп аталады. «Трансцедент»^* деген сөз функцияның аргументі х–ке тек қана төрт арифметикалық және кері функция құру амалдарын қолдану арқылы беруге болмайтынын білдіреді.

Көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық, кері тригонометриялық және көрсеткіші иррационал болатын дәрежелік функциялар трансцеденттік функциялар екенін дәлелдеуге болады.

Соңында, элементар функциялардың бір маңызды мысалын келтірейік.

(2)

функциялары гиперболалық функциялар деп аталады.

Бұл анықтамалардан

, , демек, x=у болғанда

теңдіктері орындалуы айқын.

Бұл формулалар тригонометриялық функциялар үшін орындалатын формулаларға ұқсас болғандықтан, (2) функциялары сәйкес гиперболалық синус, косинус, тангенс және котангенс деп аталады.

4. Функцияның айқын түрде берілуінің бір тәсілі. Біз элементар функцияларды негізгі элементар функцияларға төрт арифметикалық және күрделі функция құру әдісін қолданудың нәтижесі ретінде анықтадық.

Бұл жолдағы келесі қадам –бірнеше элементар функциянің мәндерін «араластырып» жаңа функция құру.

Дәл айтқанда, Е₁,Е₂,...,Е_n,... екі-екіден өзара қиылыспайтын (яғни Ǿ ) сандар жиындары мен f₁,f₂,...,f_n,... элементар функциялары беріліп,әрбір i=1,2,... үшін Е_i жиыны функциясының анықталу жиынының жиыншасы болсын.

Кез келген үшін әрбір санына санын сәйкес қоятын ереже жиындарының барлық элементтерінен құрылған жиынында (яғни, жиыны жиындарының біріктіруі болады) анықталған функция болады. Расында да, әрбір саны жиындарының біреуінде және тек қана біреуінде жатады; ол жиыны болса, онда санына саны сәйкес қойылады. Сонымен, функцияның анықтамасындағы талаптардың бәрі қанағаттандырылады:

әуелі әрбір саны үшін кірістіруі орындалатын номері табылады, сонан кейін саны үшін элементар функциясындағы ережелер бойынша саны есептеледі. Бұл функция ( ол әріпімен белгіленген болсын)

* quod algebrae vires transcendit – латын тілінен «алгебраның күші жетпейтін» деп аударылады.

көбінесе

(3)

түрінде жазылыды.

Мысалдар.1. болып, болсын . Онда (3) бойынша анықталған функция

болады (sgn x−«сигнум х» деп оқылады)*.

Бұл функцияның екі қасиетін атап өтейік:

а) Әрбір нақты сан үшін

б) Егер болса , онда

2. − барлық рационал, ал − барлық иррационал сандардан құралған жиындар болып, болсын.Онда интервалында (3) бойынша анықталған

функция Дирихле** функциясы деп аталады.

Бұл функцияның грфигін салу мүмкін емес, өйткені әрбір аралықта рационал сан да, иррациоал сан да бар болғандықтан, кез келген осындай аралықта функция 0 мен 1-дің мәндерінің арасында жоғары және төмен ақырсыз көп рет «секіріп» отырады.

3. және алдындағыдай мысалдай болып, болсын. Онда (3) бойынша анықталған

сәйкестігі жоғарыда анықталғандай (1-пунктті қараңыз) монотонды емес, бірақ кері функциясы бар болатын функцияның мысалы болады. Расында да,

_____________

* Signum (латынша)−таңба деген сөз.

** П.Г. Дирихле (1805−1859)−неміс математигі.

болғандықтан, функция өспелі де, кемімелі де емес.

Енді кері функциясы бар болатынын көрсетейік.

Егер болса, онда және рационал болғанда және иррационал болғанда және сандарының біреуі рационал, екіншісі иррационал болғанда , өйткені, рационал сан иррационал санға тең болуы мүмкін емес (бұл функцияның аргументі қандай болса −рационал немесе иррационал −мәні де сондай болады).

Сонымен, болса, онда , яғни −иньективті функция, демек, оның кері функциясы да бар (3 (I тараудағы, § 2)-пунктті қараңыз).

Әрине, жиындары мен функцияларын айқын түрде жазу қажет емес. (3) түріндегі теңдеу арқылы да функциясын анықтау туралы мәліметті толық жеткізіуге болады.

Ілгеріде біз тек қана осы қысқа әдісті қолданамыз.

Функцияның айқын түрде берілу әдістері тек қана аталған әдіспен шектелмейді. Матеметикалық анализдің негізгі ұғымдарымен танысқан сайын, функцияларды анықтау мүмкіндіктері де көбейе береді. Функцияның жалпы берілуі туралы сол жөнінде тізбектер жағыдайында айтылғанды қайталауға болады.

§ 2. Функцияның шегінің « »-тіліндегі

(Маңайлар тіліндегі) анықтамасы

Бұнда, математикалық анализдің негізгі ұғымдарының бірі −функцияның шегі ұғымы анықталады.

1. Негізгі дербес жағыдай. Х жиынында анықталған функциясы мен а нақты саны берілсін.

Егер белгілі бір b нақты саны мен кез келген оң саны үшін функциясының анықталу жиынында жататын және

(1)

теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық x сандары үшін теңсіздігі орындалатын оң саны табылса, онда f(x) функциясының x a-ға ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар және ол санына b тең дейді де

символдарымен белгілейді.

Кванторлар тілінде шектің анықтамасы былай жазылады:

(2)

Мұнда Х – функцияның анықталу жиыны. Шектің анықтамасының геометриялық мағынасы суретте берілген: және түзулерін жүргізсек (оларды түзуіне қалауымызша жақын сызуға болады), және интервалдарына сәйкес функцияның графигінің кесегі сол екі түзудің арасында жатады.

Шек ұғымы - өте терең ұғым. Шек ұғымы матиматикада кеңінен XVII ғасырдан бастап қолданылса да, оның дәл анықтамасы XIX ғасырда ғана (дәл айтқанда, 1821 жылы) берліген еді. Бұның бір себебі әуелі тәуелсіз айнымалыны, сосын тәуелді айнымалыны қарастыру қажет деп жаңылыс ойлау болды.

Расында да, «х a-ға ұмтылғанда f(x) b-ға ұмтылады» деген сөйлемді көрнекі түрде былай есептеуге болады: «тәуелсіз х айнымалысы f-тің анықталу жиынындағы мәндердің бәрін қабылдап, а-ға бірте-бірте ақырсыз жақындаған сайын, оған бағынышты f(x) айнымалысы b-ға ақырсыз жақындай түседі». Бірақ, f-тің анықталу жиыны интервал болғанда (бұндай жағдайда x-үзіліссіз айнымалы деп те атайды), математикалық дәл анықтамасын беру мүмкін емес.

cандар тізбегінде n-нен келесі n+1 санына көшіп, бірте-бірте әрбір мүшесіне жетуге болса, айнымалы интервалда өзгергенде, әрбір саны үшін бірде-бір саны оған «келесі» бола алмайды, өйткені сандарының арасында жатқан сандар көп (мысалы, т.б.). Бұл «х а-ға ұмтылғанда» деген сөйлемше мен символына математикада ешқандай жеке мағына берілмеуінің бір себебі болады.

Екі айнымалыны жоғарыда айтылған бағытқа қарама-қарсы бағытта қарастыру бірінші рет Кошидің ойына келеді.

Сонымен, алдымен тәуелді айнымалы f(x)-тің шегі b-дан өзгешелігіне көңіл аударылды (алдын-ала f(x)-тің b-ға жақындығын бейнелейтін оң саны алынады), сонан кейін «а»-ға жеткілікті жақын ораласқан барлық x-тер үшін оған сәйкес f(x) сандарының b-ға жақындығы қалағанымыздай болатыны талап етіледі (дәл айтқанда, а-дан өзге болып, а-ның белгілі бір маңайынан алынған барлық х-тер үшін).

Шектің анықтамасында х және f(x) айнымалылары ешқандай қозғалыста болмаса да (олар сәйкес а мен b-ға «ұмтылмайды» да, «жақындамайды» да), шектің атауында «ұмтылу», «жақындау» сөздері тарихи сақталып келеді (сонымен бірге, жоғарыда суреттелген шектің аталуындағы сөйлем елестететін шектің көрнекі бейнесінен бас тартпау керек).

Сондықтан, «x a-ға ұмтылғанда, f(x) b-ға ұмтылады» деген дәл емес сөйлемшеге жаңылыспай, шекті табу қажет болғанда тек қана сондағы талаптар орындалатынын не орындалмайтынын тексеру керек:

Әуелі оң саны алынып (ол бір жағынан «бекітілген» сан, екінші жағынан «кез келген» сан), сосын әртүрлі тәсілдерді қолданып шектің анықтамасындағы талапты қанағаттандыратын - ға тәуелді саны ізделеді.

Кері, «х а-ға ұмтылғанда, f(x) b-ұмтылады» деген сөйлемді немесе (2) символдарын, шектің анықтамасындағы талаптар орындалады деп түсіну керек.

Біз сөзбен айтқанда, шектің анықтамасы, әр анықтама тәрізді, қарама-қарсы бағытта қолданылады.

Ескерту: Шектің анықтамасында «х а-ға ұмтылғанда» деген сөйлемшенің өзіне ешқандай мағына бермей-ақ, «х а-ға ұмтылғанда f(x) функциясының нақты шегі бар және b санына тең» деген сөйлемді қандай мағынада түсіну керек екені беріледі.

Бұнда ешқандай қате жоқ екені жоғарыда айтылғаннан түсінікті. Бұдан мынадай пайдалы ескерту жасауға болады: математикада сөйлемге мағына беріліп, оның құрамындағы кейбір сөйлемшелерге ешқандай мағына берілмеуі де мүмкін.

Мысалдар. 1. с нақты саны берілсін. интервалында анықталған тұрақты функциясы үшін

. (3)

Расында да, әрбір саны үшін деп алсақ, онда болады, яғни, шектің анықтамасы бойынша (3) дәлелденді.

2. функциясы үшін (4)

саны берілсін. (5)

болсын. Әрине, . Егер х саны үшін теңсіздігі орындалса, онда (5) бойынша

(6)

яғни (4) дәлелденді.

Әрине, (6) амалдарының орындалуын қамтамасыз ету үшін саны дәл (5) түрінде таңдап алынғаны айқын.

Көбінесе бойынша санын табу мәселесі көп қосымша қарастыруларды керек етеді. Мысалы, бұндай жағдай логарифмдік және көрсеткіштік функциялардың шектерін тапқанда кездеседі.

3. Әрбір саны үшін . (7)

Бұны дәлелдеу үшін

(8)

тұжырымы орындалатынын көрсетсек болғаны.

Расында да, саны үшін болса, онда, әрине, саны оң болады және (8) бойынша

болады, ал бұл (7) теңдігінің дәл өзі болады.

Сонымен, (8)-ді дәлелдейік. Алдымен, әрбір саны үшін

(9)

болатынын көрсетейік. Кез келген оң бүтін саны үшін болады (бұл 3 (ІІ тарау, § 3) – пункте дәлелденген еді).

Соңғы теңсіздіктің екі жағын да логарифмдеп,

(10)

теңсіздігіне келеміз.

Әрбір саны үшін теңсіздігін қанағаттандыратын жалғыз п оң бүтін саны табылады. Сол үшін (10) бойынша

яғни, (9) дәлелденді.

теңсіздігі және теңсіздіктеріне пара-пар. (8)-дің үшін орындалуы айқын. Егер болса, онда (9) бойынша

яғни бұл жағдайда да (8) дәлелденеді.

Енді болсын. Тағы да (9) бойынша

(8) тұжырымы, сонымен бірге (7) теңдігі де толық дәлелденді.