§3. Санды жиындар.

1. Ақырсыз сандар. Көп жағдайларда + және - символдары пайдалы болады. бұл символдарды ақырсыз сандар деп атаймыз да, келесі шарттар орындалады деп ұйғарамыз.

1. Егер x нақты сан болса, онда -x<+; x+=+, x-=-; ; (-)+(+)=+;(-)+(-)=-;(+)-(-)=+,

2. Егер x>0 болса, онда x(+)=+, x(-)=-, (-)(+)=-; (+)(+)=+,

3. Егер x<0 болса, онда x(+)=-; x(-)=+ болады.

Бұл қасиеттер анықтама ретінде алынып отыр, сондықтан дәлелденбейді. Бірақ ілгерідегі 5 (II тарау, §2)-пунктте оларды белгілі мағынада ақтауға болатынын көреміз.

Бұл кітапта нақты сандар жиыны әрқашанда R әріпімен белгіленеді. + және - сандарымен толықтырылған барлық нақты сандар жиыны әріпімен белгіленеді. Сонымен

Кейбірде нақты сандарды ақырлы сан деп атаймыз. Сан деп әрқашанда нақты санды атаймыз.

2. Жоғарғы және төменгі шекаралар. Шенелген жиындар. Бұл ұғымдар ілгеріде өте маңызды болады. Сондықтан, алдымен қолданатын терминологияны дәлдеп алайық.

x пен у нақты сандары берілсін. x  y қатынасы орындалғанда х саны у санынан үлкен немесе y саны х санынан кіші дейміз. xy қатынасы орындалғанда, яғни х=у әлде х>у болғанда, х саны у санынан кіші емес, у саны х санынан акспайды немесе у саны х санынан үлкен емес дейміз. Егер х>0 болса, онда х оң сан; x<0 болса, онда х теріс сан; x0 болса, онда х теріс емес сан; x0 болса, онда х оң емес сан дейді.

Нақты сандардан құрылған жиынды сандар жиыны дейді. Мынаны айрықша ескертеміз: сандар жиынына + пен - ақырсыз сандары ешқашанда кірмейді.

ER жазуы Е нақты сандар жиынды екенін көрсетеді.

Е сандар жиыны берілсін. Егер барлық х үшін xα теңсіздігі орындалатын α нақты саны табылса, онда Е жиынын жоғарыдан шенелген не шектелген деп, ал  санын Е жиынының жоғары шекарасы деп атайды.

Әрине, егер  саны Е жиынының жоғарғы шекарасы болса, онда одан үлкен кез келген  саны да жоғарғы шекара болады.

Кванторлар арқылы Е жиынының жоғарыдан шенелгендігі былай жазылады.

()( х  Е): х (1)

Енді қарама-қарсы тұжырым құру ережесін қолдансақ онда тұжырымы () (х_Е): х_ түрінде жазылады, яғни әрбір  нақты саны үшін Е жиынынан одан үлкен х саны табылса, онда Е жоғарыдан шенелмеген не шектелмеген жиын деп аталады.

Жиынның төменнен шенелген не шектелмегендігі дәл осылай анықталады. Барлық xE үшін x теңсіздігі орындалатын  нақты саны табылуы керек, яғни ()(xE): x. Мұндай  саны Е жиынының төменгі шекарасы деп аталады.

Егер ()(x_E): x_< шарты орындалса, яғни әрбір β саны үшін одан кіші Е жиынының x_ элементі бар болса, онда Е төменнен шенелмеген не шектелмеген жиын болады.

Егер Е жиыны жоғарыдан да, төменнен де шенелген болса яғни ()()(xE): x шарты орындалса, онда Е-ні шенелген не шектелген жиын деп атайды.

Әрине, Е шенелген жиын болуы белгілі бір >0 саны мен барлық хE үшін |x| теңсіздігі орындалуымен пара-пар (мысалы, α|+|β|алуға болады).

Енді бірнеше мысалдарды қарастырайық.

1. Ақырлы жиын әрқашанда шенелген жиын болады, өйткені оның элементтері x₁, x₂, …, x_n болса, онда =|x₁|+|x₂|+…+|x_n| нақты саны үшін |x_i| (i=1,2,…,n) теңсіздігі орындалады.

. Барлық оң бүтін сандардан құрылған J жиыны төменнен шенелген, бірақ жоғарыдан шенелмеген.

Расында да, әрбір nJ үшін n1, демек, J төменнен шенелген жиын; әрбір  нақты саны үшін одан үлкен оң бүтін саны табылды, демек, J жоғарыдан шенелмеген.