1) Функцияның анықталу жиыны бейнелейтін х айнымалысы;

2) Функцияның мәні f(X),

3) Алғашқы екі ұғымдардан өзге болатын f ережесі, амалы, тәртібі, сәйкестігі.

Мысалы, f(x)=x² болғанда, х айнымалысы 2 мәнін қабылдауы мүмкін, оған сәйкес функцияның мәні болатын f(2)=4 саны, ал f тәртібі квадраттау амалы болады.

Біз мұнда «көбінесе» деген сөзді, жиі қолданғанымызды оқырман байқаған болар. Оның себебі, функцияны белгілейтін әдістердің бәрін беру мүмкін емес.

Мысалы, х=х(t) символы да қолданылады. Мұнда теңдеудің сол жағындағы х – функцияның мәнін, оң жағындағы х – ережені, ал t - функцияның аргументін белгілейді.

f және g функциялары Е жиынында анықталып, барлық х үшін f(х)=g(х) болса, онда сол функцияларды өзара тең деп f=g символымен белгілейді.

3. Функциялардың түрлері. Егер F – нақты сандардан құрылған жиын болса (Е – кез келген жиын), онда f : ЕF функциясын нақты мәнді немесе санды функция деп атайды. Мұнда «нақты мәнді» деген сөз функцияның мәні нақты сан болатынын білдіреді.

А болсын, онда f(f(xx жиыны, яғни x болғандағы f(xэлементтерінен құралған жиын А жиынының f функциясына сәйкес бейнесі деп аталады. Мысалы, f(x)=x² үшін f(.

Әрине, әрқашанда fF.

Егер, f=F жиындар теңдігі орындалса, яғни F жиынының әрбір элементі f функциясының мәні болсын, онда f - сюръективті функция деп аталады. Мысалы, =F=1, F₁= үшін f(x)=x² болғанда Е F функциясы сюьективті болады да, Е F₁ функциясы сюрьективті емес.

Егер ВF болса, онда F^-1=xfx) жиынын, яғни f(x) мәндері В жиынында жататын xЕ элементтерінен құралған жиынды В жиынының алғашқы бейнесі деп атайды.

Мысалы, f(x)=x² үшін f ^-1( =-1;1], f ^-1(1)=-1;1, f ^-1(0)=0, f ^-1(-1)=.

Әрине, В бір элементті болуыда мүмкін. Егер әрбір сондай В үшін f ^-1(В) бос немесе бір элементі болса, онда f –ті инъективті функция деп атайды (F жиынының әрбір элементі функцияның мәні бола бермейді, сондықтан, кейбір В-лар үшін f ^-1(B) бос жиын болуы да мүмкін).

Басқа сөзбен айтқанда х₁х₂  fх₁)fх₂ шарты орындалуы, яғни функцияның әрбір мәні тек қана бір нүктеде қабылдануы, керек. Мысалы, [-1;1] сигментінде f(x)=x функциясы инъективті болады да, g(x)=x² ондай болмайды, өйткені g(1)= g(-1).

Инъективті функцияның бір өте маңызды қасиетін атап өтейік..

Алдымен күрделі функция ұғымын атайық. f функциясы Е жиынында, g функциясы F жиынында анықталып, fF кірістірілуі орындалсын. Онда f және g функциялары бойынша анықталған х g(f(х)) сәйкестігі, яғни әрбір xЕ элементіне f бойынша сәйкес келетін f(х)f(Е)F элементіне g тәртібін қолданудың нәтижесін сәйкес қоятын ереже, f және g функцияларының композициясы немесе күрделі функция деп атайды да, gОf немесе g(f(х)) символдарымен белгілейді. Әрине f(Е)F кірістіруі g(f(х)) өрнегі мағыналы болуы үшін керек. Сонымен, «күрделі» деген сөз бір ғажайып қиын нәрсені емес, тек қана екі ереже бірінен соң бірі қолданылатынын білдіреді.

Мысалы, егер g(х)=х² және f(х)=х+1 болса, онда g(f(х))=(gоf)(х)=(х+1)², f(g(х))=(fОg)(х)=х²+1 болады. Бұл екі теңдіктен fОg және gОf бір-бірінен өзге бола алатынын көреміз. (Мысалы, g(f(1))=42=f(g(1)).

Енді функциясы иньективті болсын. Онда келесі

 x g(f(x)) = x (2)

және

 yf() f(g(y)) = y. (3)

шарттарды қанағаттандыратын функциясы бар болады.

Расында да, f(E) жиынының анықтамасы бойынша әрбір yf(E) элементі f функциясының мәні болады, яғни белгілі бір х_у  Е үшін f(x_y) = y теңдігі орындалады. Ал f инъективті болғандықтан, сондай х_у тек қана біреу болады. Сонымен, f(E) жиынында анықталған және функцияның анықтамасындағы талаптарды қанағаттандыратын у  х_у сәйкестігіне келдік. Сол сәйкестікті g әріпімен белгілесек, онда (2) және (3) шарттарының орындалуы айқын.

g функциясы кері функция деп аталады, көбінесе f ^-1 символымен белгіленеді.

Сөйтіп, әрбір иньективті функцияның бейнесінде анықталған кері функциясы бар болады:

Мысалы, f(x) =5x үшін f ^–1(х) = x болады.

Егер функциясы үшін әрбір yF элементі f функциясының мәні болып, тек қана бір нүктеде қабылданса, онда f биективті деп аталады.

Әрине, f биективті болуы үшін, ол иньективті және сюрьективті болуы қажетті және жеткілікті.

Биективті функцияның әрқашанда кері функциясы бар болады, өйткені ол иньективті функция.

Биективті функцияны өзара бірмәнді сәйкестік деп те атайды.

Нақты мәнді функциялар үшін арифметикалық амалдар деп аталатын қосу, алу, көбейту және бөлу амалдарын анықтауға болады. Е жиынында f және g нақты мәнді функциялары анықталған болсын. Онда x  f(x) + g(x), x  f(x) - g(x), x  f(x)g(x) , x  ережелері f және g функцияларының қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және бөліндісі деп аталады да, f + g, f  g, fg, символдарымен белгіленеді (әрине, соңғы жағдайда әрбір хE үшін g(x)0 болуы қажет).

Әрбір С нақты саны үшін хCf(x) сәйкестігі С санының f(x) функциясына көбейтіндісі деп аталады да, Сf символымен белгіленеді.

Бұл анықтамаларда функцияның анықталу жиынында ешқандай арифметикалық амалдар анықталмауы да мүмкін екеніне оқырманның назарын ерекше аударамыз.

Мысалы, егер g(x)=x² және f(х)=x+1 болса, онда (f+g)(x)= x²+ x+1; (fg)(x)=-x²+ x+1; (fg)(x)=x³ +x²; (x)= , .

4. Эквивалентті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. E және F жиындары берілсін. Егер осы екі жиынның арасында өзара бірмәнді сәйкестік қоятын f функциясы бар болса, онда E және F жиындары эквивалентті дейді де, оны E ~ F символымен белгілейді.

Әрбір оң бүтін n саны үшін 1,2, … ,n сандарынан құрылған жиынды J_n символымен, ал барлық оң бүтін сандар жиынын J символымен белгілейді.

Егер белгілі бір n үшін E ~ J_n болса, онда Е-ні ақырлы не шектеулі жиын деп атайды.

Егер E ~ J_n анықтамасында биективті функция f болса, онда Е жиыны в f(1), f(2), … , f(n) элементтерінен құрылған. Әрбір i=1,2, … , n үшін i санын f(i) элементтерінің номері деп атасақ, онда ақырлы жиынды элементтерін 1-ден бастап белгілі-бір n оң бүтін санына дейін номерлеуге болатын жиын деп түсіндіруге болады. Бұндай жиынды n-элементті жиын деп атайды.

Егер Е жиыны ақырлы болмаса, онда оны ақырсыз не шектеусіз, шексіз жиын деп атайды.

Егер әрбір n оң бүтін саны үшін Е жиынында бір-бірінен өзге болатын (n+1) элемент бар болса, онда Е ақырсыз жиын болады. Расында да, егер Е ақырлы болса, онда белгілі бір n_o үшін Е~ J_n болар еді, яғни Е жиыны n_o элементтен құрылған. Бірақ Е жиынында кемінде (n_o+1) элемент бар. Бұл қайшылықтан Е ақырсыз болатыны шығады. Ақырсыз жиындардың мысалы ретінде J жиынын алуға болады.

J жиынына эквивалентті жиындарды саналатын деп атайды.