Алғы сөз

Қазіргі уақытқа дейін математикалық анализден қазақ тілінде мынадай оқулықтар жазылған: О.А. Жәутіковтің «Математикалық анализ курсы» (1958 ж), осы аттас Х.И. Ибрашев пен Ш.Т. Еркеғұловың екі томдығы ( 1963 ж.-I т., 1970 ж.-II т. ) және Б.Т. Төлегеновтың «Математикалық анализден лекциялар курсы» ( 1973 ж.-I б., 1969 ж.-II б. ).

Бұл кітап математикалық анализдің толық курсының бірінші бөлігін құрайды.

Оның кейбір өзіндік ерекшеліктерін атап өтейік.

Нақты сандар аксиоматикалық әдіспен анықталған. Нақты сандар жиынын рационал сандар жиынынан айыратын толықтық аксиомасының (оны үзіліссіздік аксиомасы деп те атайды) бірнеше эквивалентті түрлері бар. Мәселен, ол Коши тізбектерінің кемімейтін, жоғарыдан шенелген тізбектердің әрқашан да нақты мәнді шегі бар деген түрлер де беріледі. Сонан соң толықтық аксиомасының тағы бір эквивалентті түрі болатын әрбір жоғарыдан шенелген нақты сандар жиынының супремумы бар екендігі туралы тұжырым дәлелденеді. Дәл осы қасиет кітапта толықтық аксиомасы ретінде алынды. Супремум ұғымын пайдаланып, әрбір оң санның арифметикалық түбірі мен логарифмі бар болатыны, әрбір оң санның нақты мәнді дәрежесі анықталып, логарифм мен дәреженің және нақты сандардың басқа да негізгі қасиеттері ұтымды дәлелденеді.

Функцияның шегінің « » тіліндегі анықтамасы, анықталмағандықты ашу әдістері, анықталмағандық табиғатын ақырлы және ақырсыз сандар арифметикасымен байланыстыру, әрбір нақты мәнді функцияның кез-келген нүктенің маңайындағы жалпы құрылысының геометриялық талқылауы, функцияның үзілу нүктелерінің толық зерттеуі – осы және т.с.с. мәселелер кітапта өзгеше берілген.

Сонымен қатар, математика тілінің негізгі элементтеріне: анықтама және оның маңызы, белгілеулер, соның ішінде символдармен белгілеу мәселелері, кері тұжырым құру ережесі, теорема, лемма, қажеттілік, жеткіліктілік, критерий, т.с.с. арнайы көңіл бөлінген.

Кітапта логикалық символдар кеңінен қолданылған.

Кітапта жазу әдісі оқырманды математикалық тұжырымды анық, дәл және толық түсініп, айта алуға үйретуге бағытталған.

Математикалық анализге қазақ терминология мәселелері жоғарыда аталған үш еңбекте дамытылған. Ұсынылып отырған еңбек сол қалыптасқан терминология негізінде жазылған.

Тараулар параграфтарға, параграфтар пунктерге бөлінген. Сілтеме пунктке беріледі (мысалы, 2-п. II тарау, § 3 деген II тараудың 3 параграфындағы 2-ші пункт); бір тараудың ішіндегі сілтемеде тарау, бір параграфтың ішінде- параграф көрсетілмейді.

Оқу құралының сапалы шығуына СССР Ғылым Академиясының корреспондент-мүшесі П.Л. Ульяновтың, физика-математика ғылымдарының докторлары Г. И. Архиповтың, С. М. Ворониннің, доценттер К.Ж. Наурызбаев пен Д. В. Печерскийдің көп үлесі бар.

Қазақ ССР ҒА академигі О.А. Жәутіков, профессорлар М.Өтелбаев пен Д.Ү. Үмбетжанов, доценттер Ш. Т. Еркеғұлов, Б.Т. Төлегенов, Т.Б. Досымов және Р. Ойнаров көптеген пайдалы кеңестер берді.

Аталған жолдастарға шын көңілден ризашылығымды білдіремін.

Автор

I ТАРАУ

Жиындар. Функциялар.

Нақты сандар.

§1. Логиканың кейбір негізгі ұғымдары.

1. Жиын ұғымы. Өзара бөлек заттарды біріктіріп, бүтін бір заттай қарастыруға болады. Сол жаңа зат жиын деп, ол оның құрамындағы заттардың әрқайсысы жиынның элементі деп аталады.

Мысалы,

1⁰. Студенттерді біріктіріп, группа құрылады.

2⁰. Факультеттің студенттері группаларға бөлінген.

3⁰. Жоғарғы оқу орнының студенттері факультеттерге бөлінген.

Мұнда

1⁰- мысалда: Группа жиын болады да, ондағы әрбір студент –сол жиынның элементі.

2⁰- мысалда : Факультет жиын болады да, ондағы әрбір группа –сол жиынның элементі болады.

3⁰-мысалда: Жоғарғы оқу орны жиын болады да, ондағы әрбір факультет сол жиынның элементі болады.

Сонымен, әрбір жиын өзінің элементтерінен құралып, басқа бір жиынның элементі болуы мүмкін (жоғарғы үш мысалдарда, алғашқы екі жиындардың әрқайсысы келесі жиынның элементі болады). х заты Е жиынының элементі болатыны хЕ символымен белгіленеді (« х заты Е жиынында жатыр», «х Е-нің элементі» деп те оқылады).

х заты Е жиынының элементі болмайтыны х Е символымен белгіленеді ( «х заты Е жиынында жатпайды», «х Е-нің элементі емес» деп те оқылады).

2. Қажеттілік және жеткіліктілік. Шарт деп аталатын берілген А қасиетінен қорытынды деп аталатын В қасиетін шығару теорема деп аталады (теорема – «қарастырамын», «ойланамын» деген theörema деген грек сөзінен алынған).

А қасиетінен В қасиеті шығатыны қысқаша символымен белгіленеді.

Егер болса (бұл әрқашанда орындала бермейді), онда оны кері теорема деп атайды.

Егер және болса, онда А және В қасиеттерін пара-пар немесе эквивалентті дейді де, символымен белгілейді.

А тұжырымына қарама-қарсы тұжырым символымен белгіленеді.

Мысалы, А - студенттің театрға барғаны болса, онда - студенттің театрға бармағаны болады (бірақ, студенттің киноға барғаны емес).

Әрқашанда А мен - ның біреуі және тек қана біреуі орындалады деп ұйғарамыз, сондықтан B= үшін = болады, яғни =А.

1 – т е о р е м а. АВ мен  пара-пар, яғни

АВ   (1).

Д Ә Л Е Л Д Е У І. Алдымен A=>B болсын, яғни A қасиеті орындалған жағдайда әрқашанда B қасиеті де орындалсын. Енді қасиеті орындалады деп ұйғарайық. Онда міндетті түрде қасиеті орындалуы керек. Расында да, олай болмаса, яғни А қасиеті орындалса, онда В қасиеті де орындалар еді. Демек, біздің ұйғаруымызғы қарсы орындалмайды. Сонымен,  болады, яғни

(АВ)  (  ). (2)

Енді  болсын. Онда = А және = В болғандықтан, (2) бойынша

(  ) ( А = В = ).

болады, демек (1) толық дәләлденді.

АВ теоремасын былай да атайды: В орындалуы үшін А-ның орындалуы жеткілікті ( яғни, А орындалған жағдайда В да орындалады ).

А-ның орындалуы В -ның орындалуы қажетті (өйткені, В орындалмаса, онда (2) бойынша А да орындалмайды ).

Егер АВ болса, онда А орындалуы В орындалуы қажетті және жеткілікті.

Кейбірде АВ түріндегі теореманы критерий деп те атайды.

Кейде АВ символы анықтама ретінде де қолданылады. А бойынша В немесе В бойынша А анықталады.

3. Теңдік таңбасының кейбір пайдаланулары. Теңдік = символымен бейнеленеді де, математикада әртүрлі мағынада қолданылады.

1. Теңдік таңбасы тепе-теңдікті бейнелеуі мүмкін; х пен у бірінен-бірі өзге болмайтыны х=у түрінде жазылады.

Мысалы, 1=1.

Тепе-теңдік кейде символымен де белгіленеді.

2. Теңдік тек қана шартты болуы мүмкін; мұндай мағынада = таңбасы теңдеудің екі жағын байланыстырады.

Мысалы, а 0 үшін ах=b теңдігі белгілі бір x үшін орындалады.