6.2 Расчётно-проектировочная работа № 5 «Определение перемещений при изгибе и решение статически неопределимой задачи»
Пример № 20. Для балки, нагруженной
внешними нагрузками
кН,
и
кН/м, определить прогиб и угол
поворота сечения D.
Длина участков
= 0,4 м, b = 1,2 м, с =
0,8 м, в соответствии с рисунком 6.2 а
Ход решения
1. Определяем реакции опор от действия внешних нагрузок.
.
Отсюда
кН
.
Отсюда
Рисунок 6.2
кН
Проверка
2. Строим эпюры поперечной силы
- и изгибающего момента
- от действия внешних нагрузок.
Для участка АВ
кН
– Const.
-
уравнение прямой 
Для участка BD
-
уравнение прямой 
-
уравнение квадратной параболы. 
Определяем экстремальное значение изгибающего момента
Отсюда
м
,
выпуклость эпюры изгибающего момента
вверх.
Для
участка СD
кН - Const
- уравнение прямой
По найденным значениям строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента от действия внешних нагрузок, в соответствии с рисунком 6.2 б.
3. Определяем опасное сечение по
максимальному изгибающему моменту.
Опасное сечение при
м
с
.
4. Составляем условие прочности
Определяем из условия прочности осевой момент сопротивления
По
сортаменту подбираем двутавр № 16 с
и
.
Проверка
МПа,
что больше
МПа
на 2,68 %.
Это меньше 5 %.
5. Определяем прогиб сечения D.
а) Для этого составляем расчётную схему балки без внешних нагрузок и прикладываем в точке D единичную сосредоточенную силу F0 = 1 в направлении предполагаемого прогиба, в соответствии с рисунком 6.2 в.
б) Определяем реакции опор от действия F0 = 1.
.
Отсюда
.
Отсюда
Проверка
в) Составляем уравнения изгибающих
моментов от действия единичной силы
по соответствующим участкам.
Для
участка АВ
Для
участка ВD
Для
участка СD
г) Составляем уравнение интеграла Максвелла-Мора для определения прогиба.
м
= 5,0 мм, что меньше допускаемого
прогиба
мм,
где
- пролет балки.
Вывод: жёсткость балки обеспечена.
Для упрощения расчётов интегралы берутся по участкам
,
,
.
6. Определяем угол поворота сечения D
а) Для этого к расчётной схеме балки прикладываем в сечении D единичный сосредоточенный момент М0 = 1 в направлении предполагаемого угла поворота сечения D, в соответствии с рисунком 6.2 г
б) Определяем реакции опор от действия М0 = 1
Отсюда
Отсюда
Проверка
в) Составляем уравнения изгибающих
моментов от действия единичного момента
по соответствующим участкам.
Для участка АВ
,
для участка ВD
,
для участка СD
.
г) Составляем уравнение интеграла Максвелла-Мора для определения угла поворота сечения D
,
где
,
,
.
Знаки плюс в ответах показывают, что направления прогиба и угла поворота сечения D предположены верно.
Пример 21. Для статически неопределимой
балки, нагруженной внешними нагрузками
F = 5 кН,
и q = 20 кН/м,
раскрыть статическую неопределимость,
построить эпюры внутренних силовых
факторов и подобрать сечение двутавра.
Длина участка b = 1,2
м, в соответствии с рисунком 6.3 а.
Ход решения.
1.Составляем уравнения равновесия статики.
Отсюда
(1)
(2)
(3)
2. Определяем степень статистической неопределимости
-
система один раз статически неопределима,
где
-
число неизвестных реакций опор;
- число уравнений равновесия статики.
3. Составляем основную систему в соответствии с рисунком 6.2 б.
Для этого в статически неопределимой
балке отбрасываем опору D
с «лишней» реакцией
4. Составляем эквивалентную систему в соответствии с рисунком 6.2 в.
Для этого к основной системе в сечении
D прикладываем «лишнюю»
реакцию
без опоры D
5. Составляем каноническое уравнение
метода сил: перемещение (прогиб) сечения
D в направлении лишней реакции
равно нулю
6. Строим эпюры изгибающих моментов от действия внешних нагрузок, приложенных к эквивалентной системе, по методу расслоения эпюр (принцип независимости действия сил), в соответствии с рисунками 6.3 г, д, е.
7. Строим эпюру изгибающего момента от единичной сосредоточенной силы Х10 = 1, приложенной к эквивалентной системе в направлении «лишней» реакции , в соответствии с рисунком 6.3 ж.
8. Определяем коэффициенты канонического
уравнения по формуле Верещагина
где
- площади эпюр изгибающих моментов от
внешних и единичной нагрузок по участкам;
-
ординаты эпюр изгибающего момента от
единичной силы Х10 = 1,
взятые под центром тяжести эпюр
изгибающего момента от внешних и
единичных нагрузок;
- жёсткость балки при изгибе.
-
перемещение точки приложения ''лишней''
реакции
в направлении её действия от действия
внешних нагрузок;
м3 - перемещение точки
приложения лишней реакции Х1
от единичной силы
=
1 в направлении действия «лишней»
реакции
Получаем
Отсюда
кН
9. Определяем оставшиеся реакции опор из уравнений равновесия статики.
Из
(3)
11,36
кН
Из
(2)
кН
Знаки плюс у всех реакций показывают, что их направление выбрано верно.
Проверка.
.
10. Строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента для статически неопределимой системы.
Для
участка АВ
- уравнение прямой 
- уравнение квадратной параболы 
Рисунок 6.3
Определяем
экстремальное значение МХ
Отсюда
м
, выпуклость эпюры МХ вверх.
Для участка DC
кН
– Const.
-
уравнении е прямой 
Для участка СВ
кН – Const.
- уравнение прямой 
По найденным значениям строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента, в соответствии с рисунком 6.3 з.
11. Определяем опасное сечение по
максимальному изгибающему моменту.
Опасное сечение D с
.
12. Из условия прочности
определяем осевой момент сопротивления
По сортаменту подбирается только швеллер
№ 10 с
,
что на 39,6% больше требуемой величины.