4.6 Состояние чистого изгиба. Основные понятия и формулы

Состояние стержня, при котором в его сечениях действует только изгибающий момент или , называется чистым изгибом. При чистом изгибе происходит поворот сечений стержня относительно первоначального положения вокруг поперечной оси х или у. При этом верхние слои сечения испытывают растяжение, нижние – сжатие, в соответствии с рисунком 4.9

Мерой величины их деформации является относительная упругая деформация , которая по ширине слоя распределяется равномерно. Ось стержня изгибается по дуге, радиус кривизны которой определяется по формуле . На основании закона Гука в поперечных сечениях действуют нормальные напряжения , которые по сечению распределяются по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимального значения в точках поверхностных слоев. Слой сечения, в котором деформации растяжения-сжатия и напряжения равны нулю, называется нейтральным.

Рисунок 4.9

Максимальное нормальное напряжение определяется по формуле , где осевой момент сопротивления сечения, показывает способность точек поверхностных слоев сечения сопротивляться деформации растяжения-сжатия при изгибе.

Кривизна изогнутой оси стержня определяется приближенным дифференциальным уравнениям изогнутой оси балки ,

где - изгибная жесткость стержня, характеризует способность стержня сопротивляться упругим деформациям растяжения-сжатия при изгибе.

4.7 Состояние поперечного изгиба. Основные понятия и формулы.

Состояние стержня, при котором в его сечениях в одной главной плоскости действуют одновременно поперечная сила и изгибающий момент , называется поперечным изгибом. Изгибающий момент вызывает в сечении действие нормальных напряжений, величина которых определяется как и при чистом изгибе. Поперечная сила вызывает в поперечном сечении действие касательных напряжений, величина которых определяются по формуле Д.И. Журавского .

где - поперечная сила в сечении;

- статический момент отсеченной части сечения, лежащий выше ( или ниже) рассматриваемого слоя;

– координата центра тяжести отсеченной части сечения относительно центральной оси х;

– площадь отсеченной части сечения;

b(y) – ширина рассматриваемого слоя;

- осевой момент инерции сечения.

Касательные напряжения по высоте сечений типа прямоугольник, круг, швеллер и двутавр распределяются по закону квадратной параболы от нуля в точках поверхностных слоев до максимального значения в точках нейтрального слоя в соответствии с рисунком 4.10. Их величина определяется по формулам:

Р исунок 4.10

для прямоугольного сечения ;

для круглого сечения ;

для кольцевого сечения ;

для сечений типа швеллера, двутавр

,

где А – площадь поперечного сечения;

h_c – высота стойки (стенки) сечения;

d - ширина стойки сечения;

– статический момент полусечения относительно оси х сечения.

При уменьшении ширины сечения касательные напряжения увеличиваются скачкообразно во столько раз, во сколько уменьшается ширина сечения

Так как в большинстве случаев максимальные касательные напряжения меньше максимальных нормальных напряжений, расчеты на прочность балок при изгибе в первую очередь проводят по условию прочности по максимальным нормальным напряжениям .

Из условия прочности по нормальным напряжениям решаются три задачи

Проектировочная задача определения размеров сечения .

Проверочная задача определения допускаемого изгибающего момента .

Проверочная задача проверки прочности и определения действительного коэффициента запаса прочности , .

По касательным напряжениям, как правило, проводится проверка прочности .

При поперечном изгибе большинство точек сечения находятся в условиях плоского напряженного состояния в соответствии с рисунком 4.11. Поэтому необходима проверка прочности по эквивалентным напряжениям по III или IV теориям прочности.

По III теории прочности

По IV теории прочности

Пример 14. Для балки нагруженной внешними нагрузками , построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента и подобрать сечение двутавра. Материал конструкционная сталь марки

Ст 3, = 160 МПа, 80 МПа. Длина участков а = 1 м, b = 3 м , с = 2 м в соответствии с рисунком 4.12а.

Ход решения

1. Определяем реакции опор

Отсюда

Отсюда

Рисунок 4.12

.

Проверка .