2) Сплайны, составленные из кривых Безье
Рис. 11. Состыкованные кубические кривые Безье.
Д
ля
упрощения будем считать, что параметризация
равномерная, т.е. длины отрезков, которые
пробегает параметр на каждом из участков,
равны.
Для того чтобы рассмотреть условия на и , необходимо найти производные кривых Безье:
,
где
Ограничимся в рассмотрении кубическими кривыми Безье, которые более всего распространены.
1) Требование
Рис. 12. Стыковка с требованием |
Пусть заданы значение производных на концах: m0 и m1 :
Таким образом, для того, чтобы в точках стыковки производные были равны необходимо, чтобы
|
,
т.е. :
2) Требование
Рис. 13. Стыковка с требованием . |
Из требования
в точках стыковки получаем
Распространяя эти
рассуждения на все точки стыковки,
получаем, что для задания формы такого
сплайна достаточно задать точки
|
=
.
Далее , из требования
следует равенство
, и так как
получаются сложением соответствующих
векторов по правилу параллелограмма,
то
││
и, если обозначить точку пересечения
и
как
,
то получим, что
- средняя линия треугольника
,
где k = 3i , i
,
где n+1 - число опорных точек и краевые
точки
и
(см. Рис. 14)
Рис. 14. Связь между точками для соседних сегментов. |
Замечание: Для замкнутой кривой задание краевых точек не нужно.
|
3) Сплайны, составленные из рациональных кривых Безье
Даже такие достаточно развитые средства
аппроксимации кривыми Безье не позволяют
построить окружность:
,
так как sin и cos
для достаточно хорошего приближения
требуют многочленов высокой степени,
поэту вводится более широкий класс
кривых, способ построения которых связан
с представлением о проективном
пространстве.
Рис. 15. Рациональная кривая Безье. |
Пусть у нас есть пространственная
кривая Безье
Полученная кривая, лежащая в плоскости w=1, и называется рациональной двумерной кривой Безье.
|
,в
системе координат OXYw,
спроецируем все точки исходной кривой
на плоскость w=1. Т.е. :
,
где
(см. Рис. 15).
Аналогичным образом можно получать
рациональные кривые Безье и в пространстве
большего числа измерений.
будем называть опорными точками
рациональной кривой Безье, а
-
весовыми функциями.
Рассмотрим пример представления
окружности составленной из 3-х рациональных
кубических кривых Безье. Возьмем для
примера один из сегментов. Положим
,
а
Рис. 16. Сегмент окружности, представленный рациональной кривой Безье. |
|
,
где R - радиус окружности.
Рис. 17. Изображение окружности. |
Итоговое изображение представлено на Рис. 17. Отметим, что за рамками данной лекции остались не разобранными многие важные вопросы, требующие более тщательного рассмотрения. Среди них следует отметить :
(Non-Uniform Rational B-Splines), которые в настоящее время являются фактически общепризнанным стандартом представления кривых, так как позволяют наиболее точно передавать форму кривой. 3) Аналогичную теорию можно строить и для поверхностей, что находит не меньшее, а, возможно, и большее применение в приложениях.
Всех интересующихся описанием этих вопросов, а также тех, кто хотел бы узнать более подробно о вышеизложенном материале, отсылаем к замечательной книге [Роджерс, Адамс, 2001].
|
