Правило извлечения кубического корня

Чтобы извлечь кубический корень, берем «на глаз» первое при­ближение и поступаем так.

1) Деление на первое приближение выполняется дважды: сначала делимым служит подкоренное число, а затем —число, полученное в результате первого деления. Если частное (полученное после второго деления) разнится от первого приближения (т. е. от делителя) на величину, не превышающую допустимой погрешности, то корень извлечен.

2) В противном случае находим среднее арифметическое трех чисел, а именно частного (от двух делений) и дважды взятого дели­теля). Получаем второе приближение; у него (при сколько-нибудь умелом выборе первого приближения) три цифры будут верными, а четвертая в худшем случае потребует исправления на 1.

3) Второе приближение можно подвергнута такому же испытанию как первое; но этот контроль утомителен.

Пример. . Искомый корень заключен между 9 и 10. За первое приближение возьмем 9,2 (так как подкоренное число примерно в 4 раза ближе к 9³, чем к 10³).

1) Надо разделить на 9,2 сначала подкоренное число 785,0, а затем частное 785,0:9,2. Вместо этого можно разделить 785 на 9,2² = 84,64 Получаем: 785,0 : 9,2 : 9,2 = 785,0 : 84,64  9,275;

Как видим, первое приближение имеет две верные цифры. Чтобы наилучшим образом найти, второе приближение, учтем, что подкоренное число 785,0 оказалось произведением трех неравных сомножите­лей: 785,0 = 9.2  9,2  9,275, а нам надо представить его в виде произ­ведения трех равных сомножителей. Естественно предположить, что каждый из этих равных сомножителей должен примерно равняться среднему арифметическому сомножителей 9,2; 9,2 и 9,275.

2) Итак, в качестве второго приближения берем среднее арифме­тическое (9,275 + 9,200 + 9,200): 3 = 9,225.

3) Для контроля можно разделить подкоренное число 785;0 на второе приближение 9,225 и результат еще раз разделить на 9,225 (или разделить подкоренное число на 9,225²  85,09). Получим 9,225 (если при вычислениях не сохранять запасную цифру, получится 9,224).

При подыскании первого приближения бывает полезно перенести запятую в подкоренном числе вправо (или влево) на 3, 6, 9 и т. д. цифр. В окончательном результате переносим запятую в обратном направлении на 1, 2, 3 и т. д. соответственно цифры. Переносить запятую можно только на такое число цифр, которое делится на 3.

Приведите пример с расчетом.

Средние величины

Если дан ряд величин, то всякая величина, заключенная между наименьшей и наибольшей изданных величин, называется «средней». Из средних величин наиболее употребительны средняя арифметическая и средняя геометрическая.

Средняя арифметическая величина (или среднее арифметическое) получается от сложения данных величин и деления суммы на число этих величин.

Среднее геометрическое получается от перемножения данных ве­личин и извлечения из произведения корня, показатель которого равен числу величин.

Случай­ные ошибки почти всегда компенсируются при вычислении среднего.

Приведите примеры взяв ряд из 3 или 5 примерно равных величин. Не забывайте, что извлечение коря необходимо произвести как указывалось выше. Найдите абсолютные и отосительные погрешности полученных величин друг по другу.

Среднее геометрическое всегда меньше среднего арифметического, кроме того случая, когда все взятые числа равны. Тогда ср. ар. равно ср. геом. Когда различия между взятыми числами составляют малые доли самих чисел, то и разность между ср. ар. и ср. геом. мала в сравнении с ними.

Вычисление ср. ар. имеет большое значение во всех областях практики.

Задача. Измеряется объем раствора щелочи (NаОН) затраченный на титрование раствора кислоты между двумя минимальными отметками на бюретке заключен объем 0,1 мл (на глаз мы легко можем разбить этот объем примерно на три части). Сделано 5 титрований. Результаты их (в милилитрах): 62,36; 62,30; 62,33; 62,39; 62,40. Различие результатов объ­ясняется случайными неточностями измерений. Вычислите концентрацию двухосновной кислоты если аликвотный объем равен был всегда 25,00 мл, а эквивалентная концентрация щелочи 0,0997 моль экв/л. Не забывайте все расчеты и промежуточные величины должны быть обработаны соответственно.