1.2 Квадратичная интерполяция

Идея ме­то­да ква­д­ра­тичной ин­тер­по­ля­ции (час­то на­зы­ва­е­мо­го ме­то­дом Па­у­эл­ла) за­клю­ча­ет­­ся в по­стро­е­нии ин­тер­по­ля­ци­он­но­го мно­гочле­на 2-й сте­пе­ни по трем точкам, взя­тым вбли­зи ми­ни­му­ма, как на рис. 2. По­ло­же­ние ми­ни­му­ма мно­гочле­на при­ни­ма­ет­ся в качес­т­ве но­во­го при­бли­­же­ния к ис­ко­мой точке ми­ни­му­ма функ­ции.

Пусть f₁, f₂, f₃ – значения функ­ции f(x) в точках x₁, x₂ и x₃, со­от­вет­ст­вен­но. За­пи­шем ин­тер­по­ля­ци­он­ный мно­гочлен в фор­ме Ла­гран­жа:

.

Дифференцируя это выражение, получим первую производную:

.

Приравнивая производную нулю, найдем положение минимума P₂(x):

. (5)

Обоз­начим через x₄ при­бли­же­ние к точке ми­ни­му­ма, рассчитан­ное по фор­му­ле (5). От­бро­сим од­ну из пре­ж­них точек так, что­бы ос­тав­ши­е­ся три точки (включая но­вую) ог­ра­ничива­ли ми­ни­мум, т. е. рас­по­ла­га­лись, как на рис. 2. По­в­то­ряя шаг, най­дем но­вое при­бли­же­ние с по­мо­щью ква­д­ра­тич­ной ин­тер­по­ля­ции, ос­та­вим три бли­жай­шие к ми­ни­му­му точки и т. д. Про­цесс за­канчива­ют, ко­г­да дли­на ин­тер­ва­ла не­оп­ре­де­лен­но­сти ли­бо от­но­си­тель­ное по­ни­же­ние зна­че­ния функ­ции на двух по­с­ле­до­ва­тель­ных ша­гах ста­но­вят­ся мень­ше за­дан­ной ве­ли­чи­ны.

По ме­ре при­бли­же­ния к ми­ни­му­му ве­личины x₁, x₂ и x₃, вхо­дя­щие в фор­му­лу (5), все бо­лее сбли­жа­ют­ся (как и со­от­вет­ст­ву­ю­щие значения функ­ции). При этом не­по­сред­ст­вен­ное ис­поль­зо­ва­ние (5) мо­жет при­ве­с­ти к вычис­ли­тель­ным тру­д­но­стям из-за по­те­ри точно­с­ти в ре­зуль­та­те вычита­ния бли­з­ких ве­ли­чин. По­э­то­му фор­му­лу при­во­дят к бо­лее удоб­но­му для вычис­ле­ний ви­ду:

(5а)

Пер­вое сла­га­е­мое в (5а) оп­ре­де­ля­ет се­ре­ди­ну от­ре­з­ка [x₁, x₂] и не стра­да­ет от по­те­ри точно­с­ти при сбли­же­нии точек. Вто­рое сла­га­е­мое ма­ло по срав­не­нию с пер­вым (чис­ли­тель дро­би со­дер­жит про­из­ве­де­ние трех ма­лых раз­но­стей, то­г­да как зна­ме­на­тель пред­ста­в­ля­ет со­бой ком­би­на­цию пер­вых сте­пе­ней этих раз­но­стей). Ко­нечно, вто­рое сла­га­е­мое бу­дет най­де­но с уве­личен­ной от­но­си­тель­ной по­греш­но­стью из-за по­те­ри точно­с­ти, но это по­греш­ность ма­лой по­прав­ки к пер­во­му сла­га­е­мо­му, и ее вли­я­ние на ко­нечный ре­зуль­тат не­ве­ли­ко.

Ме­тод Па­у­эл­ла в до­с­та­точной бли­зо­сти от ми­ни­му­ма об­ла­да­ет ква­д­ра­тичной схо­ди­мо­стью, и в этом его пре­и­му­ще­ст­во по срав­не­нию с ли­ней­но схо­дя­щим­ся ме­то­дом зо­ло­то­го сечения. Од­на­ко, ес­ли началь­ный ин­тер­вал не­оп­ре­де­лен­но­сти ве­лик, ап­про­к­си­ма­ция функ­ции с по­мо­щью мно­гочле­на вто­рой сте­пе­ни мо­жет ока­зать­ся слиш­ком гру­бой, что при­ве­дет к за­ме­д­ле­нию схо­ди­мо­сти. По­э­то­му на пра­к­ти­ке чаще все­го поль­зу­ют­ся ком­би­ни­ро­ван­ным ме­то­дом, ко­то­рый по­лучил на­зва­ние ме­то­да Брен­та. На пер­вом эта­пе по­ло­же­ние ми­ни­му­ма уточня­ют с по­мо­щью ме­то­да зо­ло­то­го сечения, га­ран­ти­ру­ю­ще­го по­сто­ян­ную ско­рость со­кра­ще­ния ин­тер­ва­ла не­оп­ре­де­лен­но­сти, а ко­г­да этот ин­тер­вал ста­нет до­с­та­точно ма­лым, пе­ре­хо­дят к ква­д­ра­тичной ин­тер­по­ля­ции по фор­му­ле (5а), бы­ст­ро при­во­дящей к ко­нечно­му ре­зуль­та­ту. Имен­но этот ал­го­ритм ре­а­ли­зо­ван в би­б­ли­о­течной про­це­ду­ре Fmin.