2.2 Погрешность интерполяционного многочлена

2.3 О сходимости процесса интерполяции

3. Интерполяция сплайнами

Сплай­ны – срав­ни­тель­но не­дав­нее изо­бре­те­ние, по­лучив­шее ши­ро­кое рас­про­стра­не­ние во мно­гих об­лас­тях вычис­ли­тель­ной ма­те­ма­ти­ки, начиная с 60-х го­дов [¹]. Они об­ла­да­ют це­лым ря­дом за­мечатель­ных свойств. В час­т­но­сти, ес­ли го­во­рить об ин­тер­по­ля­ции, сплай­ны (в от­личие от мно­гочле­нов) га­ран­ти­ру­ют схо­ди­мость при рав­но­мер­ном рас­пре­де­ле­нии уз­лов. Кро­ме то­го, ес­те­ст­вен­ный ку­бичес­кий сплайн яв­ля­ет­ся са­мой глад­кой сре­ди всех функ­ций, ин­тер­по­ли­рую­щих за­дан­ный на­бор точек.

Бо­лее под­роб­но с тео­ри­ей и при­ме­не­ния­ми сплай­нов, по­ми­мо клас­сичес­кой мо­но­гра­фии [Error: Reference source not found], мож­но оз­на­ко­мить­ся по кни­гам [², ³].

3.1 Что такое сплайн

Сплайн (от англ. spline) или сплайн-функ­ция – это не­пре­рыв­ная ку­сочно-по­ли­но­ми­аль­ная функ­ция, оп­ре­де­лен­ная на за­дан­ном от­рез­ке и имею­щая на этом от­рез­ке не­сколь­ко не­пре­рыв­ных про­из­вод­ных. Про­стей­шим при­ме­ром сплай­на мо­жет слу­жить ло­ма­ная, про­ве­ден­ная через за­дан­ные точки (по­нят­но, что в этом случае мож­но го­во­рить толь­ко о не­пре­рыв­но­сти функ­ции, но не про­из­вод­ных). Од­на­ко, наи­боль­ший ин­те­рес пред­став­ля­ют сплай­ны, по­стро­ен­ные на ос­но­ве мно­гочле­нов бо­лее вы­со­ких сте­пе­ней.

Ве­ро­ят­но, наи­бо­лее из­вест­ны­ми яв­ля­ют­ся ку­бичес­кие сплай­ны. Соб­ст­вен­но го­во­ря, воз­ник­но­ве­ние са­мо­го тер­ми­на «сплайн» свя­за­но имен­но с ку­бичес­ки­ми сплай­на­ми. Де­ло в том, что анг­лий­ское сло­во spline пер­во­началь­но обоз­начало чер­теж­ный ин­ст­ру­мент для про­ве­де­ния плав­ных кри­вых через за­дан­ные точки. Этот ин­ст­ру­мент пред­став­ля­ет со­бой уп­ру­гую ли­ней­ку (рей­ку) с при­спо­соб­ле­ни­ем для за­кре­п­ле­ния в нуж­ных точках. Ре­ше­ние со­от­вет­ст­вую­щей ме­ха­ничес­кой за­дачи по­ка­зы­ва­ет, что фор­ма, ко­то­рую при­об­ре­та­ет та­кая рей­ка, в про­ме­жут­ках ме­ж­ду точка­ми фик­са­ции опи­сы­ва­ет­ся ку­бичес­ки­ми мно­гочле­на­ми, причем на всем про­тя­же­нии кри­вой пер­вая и вто­рая про­из­вод­ные со­хра­ня­ют не­пре­рыв­ность. В край­них точках вто­рая про­из­вод­ная, ха­рак­те­ри­зую­щая кри­виз­ну, при­ни­ма­ет ну­ле­вое значение, по­сколь­ку кон­цы рей­ки, за­кре­п­лен­ные толь­ко с од­ной сто­ро­ны, рас­прям­ля­ют­ся. Ма­те­ма­тичес­кую функ­цию, вос­про­из­во­дя­щую фор­му рей­ки, на­зы­ва­ют ес­те­ст­вен­ным ку­бичес­ким сплай­ном.

Рас­смот­рен­ная вы­ше ме­ха­ничес­кая ана­ло­гия по­зво­ля­ет лег­ко объ­яс­нить глад­кость сплайн-функ­ции. Очевид­но, что рей­ка, за­кре­п­лен­ная в от­дель­ных точках, при­мет ту фор­му, ко­то­рой от­вечает ми­ни­мум по­тен­ци­аль­ной энер­гии. Из ме­ха­ни­ки из­вест­но, что по­тен­ци­аль­ная энер­гия уп­ру­гой де­фор­ма­ции эле­мен­та рей­ки, свя­зан­ной с его из­ги­бом, про­пор­цио­наль­на квад­ра­ту кри­виз­ны. Для рей­ки в це­лом по­тен­ци­аль­ная энер­гия рав­на ин­те­гра­лу от квад­ра­та кри­виз­ны. Та­ким об­ра­зом, ее фор­ма от­вечает ми­ни­маль­ной кри­виз­не (в ин­те­граль­ном смыс­ле).